Calcular o volume dos sólidos delimitados pelas superfícies dadas. Limitado pelos cilindros y^2+z^2=4 e pelos planos x=2 y, x=0, z=0 no primeiro octante.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume dos sólidos limitados pelos cilindros e pelos planos , , no primeiro octante. Vamos usar conceitos de cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais triplas, para encontrar esse volume.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as fronteiras do sólido. O cilindro descreve um cilindro circular com raio 2, alinhado ao longo do eixo x. Os planos , e definem as paredes do sólido no primeiro octante (onde , , e são positivos).

Passo 3

Vamos determinar os limites de integração para z = raiz4 - y^2 e a partir da equação do cilindro . Podemos reescrever essa equação para :
Isso nos indica que, para cada valor de entre 0 e 2, varia de 0 até .

Passo 4

Agora, vamos encontrar os limites para 0 <= y <= 2 . Observando que , temos que varia de 0 a 2 no primeiro octante.

Passo 5

Para o limite de 0 <= x <= 2y , ele está entre os planos e . Então, para cada , varia de 0 a :

Passo 6

Agora que temos todos os limites, podemos montar a integral tripla para calcular o volume V = integral0^2 integral0^raiz4 - y^2 integral0^2y dx , dz , dy :

Passo 7

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a integral0^2y dx = 2y :
V = integral0^2 integral0^raiz4 - y^2 2y , dz , dy
Então, nossa integral fica:

Passo 8

Agora, integramos em relação a integral0^raiz4 - y^2 2y , dz = 2y cdot raiz4 - y^2 :
V = integral0^2 2y raiz4 - y^2 , dy
Então, a integral se torna:

Passo 9

Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição. Seja V = integralu=4^u=0 2 cdot raizu cdot ( -du2 ) = integral0^4 raizu , du , então . Rearranjando, temos .
Substituindo na integral:

Passo 10

Agora, integramos integral raizu , du = 23 u^3/2 em relação a V = 23 (4^3/2 - 0^3/2) = 23 cdot 8 = 163 :
Avaliado de 0 a 4:

Resposta

O volume dos sólidos delimitados pelas superfícies dadas no primeiro octante é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados