Calcular o volume dos sólidos delimitados pelas superfícies dadas. Limitado pelos cilindros
e pelos planos
no primeiro octante.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume dos sólidos limitados pelos cilindros
e pelos planos
,
,
no primeiro octante. Vamos usar conceitos de cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais triplas, para encontrar esse volume.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as fronteiras do sólido. O cilindro
descreve um cilindro circular com raio 2, alinhado ao longo do eixo x. Os planos
,
e
definem as paredes do sólido no primeiro octante (onde
,
, e
são positivos).
Passo 3
Vamos determinar os limites de integração para
e
a partir da equação do cilindro
. Podemos reescrever essa equação para
:
Isso nos indica que, para cada valor de
entre 0 e 2,
varia de 0 até
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar os limites para
. Observando que
, temos que
varia de 0 a 2 no primeiro octante.
Passo 5
Para o limite de
, ele está entre os planos
e
. Então, para cada
,
varia de 0 a
:
Passo 6
Agora que temos todos os limites, podemos montar a integral tripla para calcular o volume
:
Passo 7
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a
:
Então, nossa integral fica:
Passo 8
Agora, integramos em relação a
:
Então, a integral se torna:
Passo 9
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição. Seja
, então
. Rearranjando, temos
.
Substituindo na integral:
Passo 10
Agora, integramos
em relação a
:
Avaliado de 0 a 4:
Resposta
O volume dos sólidos delimitados pelas superfícies dadas no primeiro octante é
unidades cúbicas.
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, P (1,2), na direção de
.
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, onde D é a região delimitada pelo semicírculo
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