Calcular o volume dos sólidos delimitados pelas superfícies dadas. Limitado pelos cilindros e pelos planos no primeiro octante.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume dos sólidos limitados pelos cilindros e pelos planos , , no primeiro octante. Vamos usar conceitos de cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais triplas, para encontrar esse volume.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as fronteiras do sólido. O cilindro descreve um cilindro circular com raio 2, alinhado ao longo do eixo x. Os planos , e definem as paredes do sólido no primeiro octante (onde , , e são positivos).

Passo 3

Vamos determinar os limites de integração para e a partir da equação do cilindro . Podemos reescrever essa equação para :
Isso nos indica que, para cada valor de entre 0 e 2, varia de 0 até .

Passo 4

Agora, vamos encontrar os limites para . Observando que , temos que varia de 0 a 2 no primeiro octante.

Passo 5

Para o limite de , ele está entre os planos e . Então, para cada , varia de 0 a :

Passo 6

Agora que temos todos os limites, podemos montar a integral tripla para calcular o volume :

Passo 7

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a :
Então, nossa integral fica:

Passo 8

Agora, integramos em relação a :
Então, a integral se torna:

Passo 9

Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição. Seja , então . Rearranjando, temos .
Substituindo na integral:

Passo 10

Agora, integramos em relação a :
Avaliado de 0 a 4:

Resposta

O volume dos sólidos delimitados pelas superfícies dadas no primeiro octante é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Determinar a derivada direcional no ponto e na direção indicada: , P (1,2), na direção de .
Calcule a integral , onde D é a região delimitada pelo semicírculo e o eixo y.
Uma carga elétrica isolada q é colocada no centro de uma superfície fechada qualquer (de formato desconhecido). Podemos afirmar que o fluxo do campo elétrico para esta superfície é dado por:
Determinar os pontos críticos das funções: