Calcule a integral
, onde D é a região delimitada pelo semicírculo
e o eixo y.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente calcular a integral dupla
, onde
é a região delimitada pelo semicírculo
e o eixo
. Isso envolve cálculo de integrais em coordenadas cartesianas e um pouco de geometria para entender a região de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. A equação
representa o semicírculo direito de raio 2 (já que
) sobre o eixo
. Então,
é a área dentro desse semicírculo e à direita do eixo
.
Passo 3
Para facilitar a integral, é bom converter para coordenadas polares, onde
e
. Nessa troca, o elemento de área
vira
.
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de integração em coordenadas polares. Como o semicírculo tem raio 2 e está à direita do eixo
,
varia de
a
e
vai de 0 a 2.
Passo 5
Substituindo tudo na integral, temos:
Isso porque
e
.
Passo 6
Vamos resolver a integral interna em
:
Fazemos uma substituição
, então
ou
. A integral vira:
Passo 7
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Resposta
A integral dupla vale
.
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