Calcule a integral , onde D é a região delimitada pelo semicírculo e o eixo y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente calcular a integral dupla , onde é a região delimitada pelo semicírculo e o eixo . Isso envolve cálculo de integrais em coordenadas cartesianas e um pouco de geometria para entender a região de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . A equação representa o semicírculo direito de raio 2 (já que ) sobre o eixo . Então, é a área dentro desse semicírculo e à direita do eixo .

Passo 3

Para facilitar a integral, é bom converter para coordenadas polares, onde e . Nessa troca, o elemento de área vira .

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração em coordenadas polares. Como o semicírculo tem raio 2 e está à direita do eixo , varia de a e vai de 0 a 2.

Passo 5

Substituindo tudo na integral, temos:
Isso porque e .

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em :
Fazemos uma substituição , então ou . A integral vira:

Passo 7

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:

Resposta

A integral dupla vale .

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