Determinar a derivada direcional no ponto e na direção indicada: , P (1,2), na direção de .

Passo 1

Vamos resolver um exercício de derivada direcional! A questão pede para encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente a derivada direcional, que nos ajuda a entender como a função muda em uma direção específica a partir de um ponto dado.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que a derivada direcional de uma função na direção de um vetor é calculada usando o gradiente da função e um vetor unitário na direção de . A fórmula é:
onde é o gradiente de e é o vetor unitário na direção de .

Passo 3

Vamos encontrar o vetor unitário na direção de . Para isso, calculamos o comprimento de :
Então, o vetor unitário é:

Passo 4

Agora, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é dado pelas derivadas parciais de em relação a e :
No ponto , temos:

Passo 5

Finalmente, aplicamos a fórmula da derivada direcional:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção de é .

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