Determinar a derivada direcional no ponto e na direção indicada:
, P (1,2), na direção de
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de derivada direcional! A questão pede para encontrar a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente a derivada direcional, que nos ajuda a entender como a função muda em uma direção específica a partir de um ponto dado.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que a derivada direcional de uma função
na direção de um vetor
é calculada usando o gradiente da função e um vetor unitário na direção de
. A fórmula é:
onde
é o gradiente de
e
é o vetor unitário na direção de
.
Passo 3
Vamos encontrar o vetor unitário
na direção de
. Para isso, calculamos o comprimento de
:
Então, o vetor unitário
é:
Passo 4
Agora, vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente
é dado pelas derivadas parciais de
em relação a
e
:
No ponto
, temos:
Passo 5
Finalmente, aplicamos a fórmula da derivada direcional:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção de
é
.
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, onde D é a região delimitada pelo semicírculo
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