Determinar a derivada direcional no ponto e na direção indicada: f(x, y)=x^2-y^2, P (1,2), na direção de v=2 imath+2 jmath.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de derivada direcional! A questão pede para encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente a derivada direcional, que nos ajuda a entender como a função muda em uma direção específica a partir de um ponto dado.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que a derivada direcional de uma função Du f = nabla f cdot u na direção de um vetor é calculada usando o gradiente da função e um vetor unitário na direção de . A fórmula é:
onde é o gradiente de e é o vetor unitário na direção de .

Passo 3

Vamos encontrar o vetor unitário |v| = raiz2^2 + 2^2 = raiz4 + 4 = raiz8 = 2raiz2 na direção de u = v|v| = 2imath + 2jmath2raiz2 = 1raiz2imath + 1raiz2jmath . Para isso, calculamos o comprimento de :
Então, o vetor unitário é:

Passo 4

Agora, vamos calcular o gradiente da função nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y ) = ( 2x, -2y ) . O gradiente nabla f(1, 2) = (2 cdot 1, -2 cdot 2) = (2, -4) é dado pelas derivadas parciais de em relação a e :
No ponto , temos:

Passo 5

Finalmente, aplicamos a fórmula da derivada direcional:
Du f = nabla f cdot u = (2, -4) cdot ( 1raiz2, 1raiz2 ) = 2 cdot 1raiz2 + (-4) cdot 1raiz2 = 2raiz2 - 4raiz2 = -2raiz2 = -raiz2

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção de é .

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