Determinar os pontos críticos das funções: z=x^4-2 x^2+y^2-9

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar os pontos críticos da função . Isso está relacionado ao cálculo de derivadas parciais, que é uma ferramenta importante para analisar o comportamento de funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são pontos críticos. Eles são os pontos onde a função pode ter mínimos, máximos ou pontos de sela. Para encontrar esses pontos, a gente precisa calcular as derivadas parciais da função em relação a cada variável e igualá-las a zero.

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada parcial de partial zpartial x = 4x^3 - 4x em relação a partial zpartial y = 2y :
Agora, fazemos o mesmo para :

Passo 4

Agora, vamos igualar cada uma dessas derivadas a zero para encontrar os valores de 4x^3 - 4x = 0 e 2y = 0 e que tornam as derivadas nulas:

Passo 5

Resolvendo a equação y = 0 , temos:
4x(x^2 - 1) = 0
Agora, resolvemos x = 0, x = 1, x = -1 :
Isso nos dá três soluções:

Resposta

Os pontos críticos da função são , e .

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