Seja (r, θ) coordenadas polares. Determine uma função harmônica v(r, theta) definida no disco de centro 0 e raio 1 que satisfaz
v(1, theta) = sen(theta), para todo x em [0, 2 pi]

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para encontrar uma função harmônica definida num disco centrado na origem com raio 1. A função precisa satisfazer a condição de contorno para todo entre 0 e . Vamos usar conceitos de equações diferenciais e coordenadas polares para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma função harmônica. Uma função harmônica satisfaz a equação de Laplace, que em coordenadas polares é dada por:
Isso significa que precisa cumprir essa equação dentro do disco.

Passo 3

A solução geral da equação de Laplace em coordenadas polares pode ser escrita como uma série de termos envolvendo potências de e funções trigonométricas de . Para o nosso caso, onde a função está definida no disco , ignoramos os termos que envolvem porque eles explodem quando se aproxima de 0. Então, a solução geral fica:

Passo 4

Agora, aplicamos a condição de contorno . Substituindo na solução geral:
Comparando os coeficientes, vemos que só o termo com e está presente do lado direito. Portanto, todos os outros coeficientes e para são zero, e apenas é igual a 1.

Passo 5

Com isso, a solução simplificada fica:
Substituindo , obtemos:

Resposta

A função harmônica que satisfaz as condições dadas é:

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