Seja
coordenadas polares. Determine uma função harmônica
definida no disco de centro
e raio 1 que satisfaz
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pede para encontrar uma função harmônica
definida num disco centrado na origem com raio 1. A função precisa satisfazer a condição de contorno
para todo
entre 0 e
. Vamos usar conceitos de equações diferenciais e coordenadas polares para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma função harmônica. Uma função harmônica satisfaz a equação de Laplace, que em coordenadas polares é dada por:
Isso significa que
precisa cumprir essa equação dentro do disco.
Passo 3
A solução geral da equação de Laplace em coordenadas polares pode ser escrita como uma série de termos envolvendo potências de
e funções trigonométricas de
. Para o nosso caso, onde a função está definida no disco
, ignoramos os termos que envolvem
porque eles explodem quando
se aproxima de 0. Então, a solução geral fica:
Passo 4
Agora, aplicamos a condição de contorno
. Substituindo
na solução geral:
Comparando os coeficientes, vemos que só o termo com
e
está presente do lado direito. Portanto, todos os outros coeficientes
e
para
são zero, e apenas
é igual a 1.
Passo 5
Com isso, a solução simplificada fica:
Substituindo
, obtemos:
Resposta
A função harmônica que satisfaz as condições dadas é: