Sejam constantes e uma função contínua com derivada contínua por partes em e que satisfaz . Use separação de variáveis para resolver o problema de fronteira

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial parcial conhecida como Equação de Laplace:
Estamos trabalhando dentro de um retângulo definido por e . As condições de contorno dadas são:
  • para todo
  • para todo
  • para todo
Vamos usar o método de separação de variáveis para resolver esse problema. Esse método ajuda a quebrar a equação em partes mais simples que dependem apenas de uma variável de cada vez.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções separadas, uma que depende só de e outra que depende só de :
Essa suposição simplifica nosso trabalho porque agora temos que lidar com funções de uma única variável.

Passo 3

Substituindo na equação de Laplace:
Podemos reorganizar isso dividindo ambos os lados por :
Como o lado esquerdo depende apenas de e o lado direito apenas de , cada parte deve ser igual a uma constante negativa para que a igualdade seja válida para todos os e . Vamos chamar essa constante de :
Isso nos dá duas equações diferenciais ordinárias:
  1. Para :
  2. Para :

Passo 4

Vamos resolver a equação para primeiro. As soluções dessa equação dependem do valor de . Como temos condições de contorno , queremos que . Isso sugere que deve ser positiva para termos soluções não triviais (fora da solução zero).
Assumindo , onde é um número inteiro positivo, as soluções para são:
Agora, resolvemos para :
A solução dessa equação é:
Aplicando a condição de contorno , temos:
Resolvendo para e , encontramos que (para simplificar e manter a solução não trivial). Assim, a solução para fica:

Passo 5

Agora, combinamos e para obter a solução geral:
A solução completa é uma soma de todas essas soluções para diferentes valores de :
Para encontrar os coeficientes , usamos a condição de contorno :
Na verdade, há uma necessidade de ajustar essa parte usando a expansão em série de Fourier para adaptar à condição . Isso envolve calcular os coeficientes de acordo com a função dada, mas isso geralmente requer uma integração com as funções de base .

Resposta

A solução do problema de fronteira utilizando separação de variáveis é dada por:
Essa série infinita representa a solução que satisfaz a equação de Laplace e as condições de contorno dadas.

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