Calcular o volume do tetraedro de arestas u=3 i-2 j-6 k, v=2 i-j e w=i+3 j+4 k.

Passo 1

Vamos calcular o volume de um tetraedro cujas arestas são representadas pelos vetores u = 3i - 2j - 6k, v = 2i - j e w = i + 3j + 4k. Para isso, vamos usar o conceito de produto misto de vetores, que nos ajuda a encontrar o volume de figuras tridimensionais.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular o produto vetorial entre os vetores v e w. O produto vetorial de dois vetores a = a1i + a2j + a3k e b = b1i + b2j + b3k é dado por:
a times b = (a2b3 - a3b2)i - (a1b3 - a3b1)j + (a1b2 - a2b1)k
Vamos aplicar isso aos vetores v e w:
v times w = ( (-1)(4) - (0)(3) )i - ( 2(4) - (0)(1) )j + ( 2(3) - (-1)(1) )k
Simplificando:
v times w = (-4)i - (8)j + (7)k = -4i - 8j + 7k

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto escalar entre o vetor u e o resultado do produto vetorial v times w. O produto escalar de dois vetores a e b é dado por:
a cdot b = a1b1 + a2b2 + a3b3
Aplicando aos nossos vetores:
u cdot (v times w) = (3)(-4) + (-2)(-8) + (-6)(7)
Calculando cada termo:
-12 + 16 - 42 = -38

Passo 4

O valor absoluto desse produto escalar nos dá o volume do paralelepípedo formado pelos vetores u, v e w. Para encontrar o volume do tetraedro, dividimos esse valor por 6:
V = |u cdot (v times w)|6 = |-38|6 = 386 = 193

Resposta

O volume do tetraedro é 193 unidades cúbicas.

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