Determinar a área do paralelogramo construído sobre u e v cujas diagonais são u+v=(0,3,5) e u-v=(2,1,1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinar a área de um paralelogramo construído sobre dois vetores u e v. A gente sabe que as diagonais desse paralelogramo são u + v = (0, 3, 5) e u - v = (2, 1, 1). Para resolver, vamos precisar usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente a fórmula da área do paralelogramo que envolve o produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores u e v individuais a partir das diagonais. Sabemos que:
u + v = (0, 3, 5)
u - v = (2, 1, 1)
Para achar u, somamos essas duas equações:
(u + v) + (u - v) = 2u = (0+2, 3+1, 5+1) = (2, 4, 6)
Então,
u = 12 times (2, 4, 6) = (1, 2, 3)

Passo 3

Agora, para encontrar v, subtraímos a segunda equação da primeira:
(u + v) - (u - v) = 2v = (0-2, 3-1, 5-1) = (-2, 2, 4)
Então,
v = 12 times (-2, 2, 4) = (-1, 1, 2)

Passo 4

Com u e v encontrados, vamos calcular o produto vetorial deles, que é essencial para achar a área do paralelogramo. A fórmula do produto vetorial entre dois vetores a times b = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1) e u times v = (2 times 2 - 3 times 1, 3 times (-1) - 1 times 2, 1 times 1 - 2 times (-1)) = (4 - 3, -3 - 2, 1 + 2) = (1, -5, 3) é:
Aplicando isso aos nossos vetores:

Passo 5

Agora, a área do paralelogramo é o módulo (ou tamanho) desse produto vetorial. A fórmula para o módulo de um vetor |c| = raizc1^2 + c2^2 + c3^2 é:
|u times v| = raiz1^2 + (-5)^2 + 3^2 = raiz1 + 25 + 9 = raiz35
Aplicando isso:

Resposta

A área do paralelogramo é unidades de área.

Exercícios relacionados