Determinar a área do paralelogramo construído sobre u e v cujas diagonais são e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinar a área de um paralelogramo construído sobre dois vetores u e v. A gente sabe que as diagonais desse paralelogramo são u + v = (0, 3, 5) e u - v = (2, 1, 1). Para resolver, vamos precisar usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente a fórmula da área do paralelogramo que envolve o produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores u e v individuais a partir das diagonais. Sabemos que:
Para achar u, somamos essas duas equações:
Então,

Passo 3

Agora, para encontrar v, subtraímos a segunda equação da primeira:
Então,

Passo 4

Com u e v encontrados, vamos calcular o produto vetorial deles, que é essencial para achar a área do paralelogramo. A fórmula do produto vetorial entre dois vetores e é:
Aplicando isso aos nossos vetores:

Passo 5

Agora, a área do paralelogramo é o módulo (ou tamanho) desse produto vetorial. A fórmula para o módulo de um vetor é:
Aplicando isso:

Resposta

A área do paralelogramo é unidades de área.

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