Determinar a área do paralelogramo construído sobre u e v cujas diagonais são
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinar a área de um paralelogramo construído sobre dois vetores u e v. A gente sabe que as diagonais desse paralelogramo são u + v = (0, 3, 5) e u - v = (2, 1, 1). Para resolver, vamos precisar usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente a fórmula da área do paralelogramo que envolve o produto vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os vetores u e v individuais a partir das diagonais. Sabemos que:
Para achar u, somamos essas duas equações:
Então,
Passo 3
Agora, para encontrar v, subtraímos a segunda equação da primeira:
Então,
Passo 4
Com u e v encontrados, vamos calcular o produto vetorial deles, que é essencial para achar a área do paralelogramo. A fórmula do produto vetorial entre dois vetores
e
é:
Aplicando isso aos nossos vetores:
Passo 5
Agora, a área do paralelogramo é o módulo (ou tamanho) desse produto vetorial. A fórmula para o módulo de um vetor
é:
Aplicando isso:
Resposta
A área do paralelogramo é
unidades de área.
Exercícios relacionados
O vetor
tem módulo 7 , forma um ângulo agudo com o eixo das abscissas e é ortogonal aos vetores
. Pede-se w.
Sendo
e
, calcular: OBS.: u, v e w são coplanares.
Calcular o volume do tetraedro de arestas
.
Verificar se a função
é linear.