Seja uma transformação linear definida por , e . Determinar .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear que transforma vetores de três dimensões em vetores de duas dimensões. Nos foram dadas três imagens dessa transformação:
Nosso objetivo é encontrar uma expressão geral para , ou seja, descobrir como qualquer vetor será transformado por .

Passo 2

Vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. Nesse caso, como vai de para , a matriz terá 2 linhas e 3 colunas. Vamos chamar essa matriz de :
Então, a transformação pode ser escrita como:
Nosso objetivo agora é encontrar os valores de .

Passo 3

Para encontrar os valores dos coeficientes da matriz , vamos usar as informações que nos foram dadas sobre a transformação . Vamos substituir os vetores fornecidos nas equações da transformação.
Primeiro, para :
Simplificando:

Passo 4

Agora, para :
Simplificando:

Passo 5

Finalmente, para :
Simplificando:

Passo 6

Agora que já sabemos que e , podemos substituir esses valores nas equações anteriores para encontrar os outros coeficientes.
Substituindo na equação :
Substituindo na equação :

Passo 7

Agora, temos , , e . Vamos usar a primeira equação para encontrar :
E para encontrar , usamos a segunda equação :

Resposta

Com todos os coeficientes encontrados, a matriz fica:
Portanto, a transformação é dada por:
Então, a resposta final é:

Exercícios relacionados

Verificar se a função é linear.
Calcular o volume do tetraedro de arestas .
Seja o operador linear dado pela matriz:
Calcular e dim .
Seja uma transformação linear. Sejam as bases e . Determinar .