Seja T: IR^3 IR^2 uma transformação linear definida por T(1,1,1)=(3,2), T(1,0,1)=(4,1) e T(0,0,1)=(3,-1). Determinar T(x, y, z).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear que transforma vetores de três dimensões em vetores de duas dimensões. Nos foram dadas três imagens dessa transformação:
Nosso objetivo é encontrar uma expressão geral para , ou seja, descobrir como qualquer vetor será transformado por .

Passo 2

Vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. Nesse caso, como A = a & b & c d & e & f vai de T(x, y, z) = A x y z = a x + b y + c z d x + e y + f z para , a matriz terá 2 linhas e 3 colunas. Vamos chamar essa matriz de :
Então, a transformação pode ser escrita como:
Nosso objetivo agora é encontrar os valores de .

Passo 3

Para encontrar os valores dos coeficientes da matriz a cdot 1 + b cdot 1 + c cdot 1 = 3 d cdot 1 + e cdot 1 + f cdot 1 = 2 , vamos usar as informações que nos foram dadas sobre a transformação a + b + c = 3 d + e + f = 2 . Vamos substituir os vetores fornecidos nas equações da transformação.
Primeiro, para :
Simplificando:

Passo 4

Agora, para a cdot 1 + b cdot 0 + c cdot 1 = 4 d cdot 1 + e cdot 0 + f cdot 1 = 1 :
a + c = 4 d + f = 1
Simplificando:

Passo 5

Finalmente, para a cdot 0 + b cdot 0 + c cdot 1 = 3 d cdot 0 + e cdot 0 + f cdot 1 = -1 :
c = 3 f = -1
Simplificando:

Passo 6

Agora que já sabemos que a + 3 = 4 implies a = 4 - 3 implies a = 1 e d + (-1) = 1 implies d = 1 + 1 implies d = 2 , podemos substituir esses valores nas equações anteriores para encontrar os outros coeficientes.
Substituindo na equação :
Substituindo na equação :

Passo 7

Agora, temos 1 + b + 3 = 3 implies b + 4 = 3 implies b = 3 - 4 implies b = -1 , 2 + e + (-1) = 2 implies e + 1 = 2 implies e = 2 - 1 implies e = 1 , e . Vamos usar a primeira equação para encontrar :
E para encontrar , usamos a segunda equação :

Resposta

Com todos os coeficientes encontrados, a matriz A = 1 & -1 & 3 2 & 1 & -1 fica:
T(x, y, z) = 1 & -1 & 3 2 & 1 & -1 x y z = 1 cdot x + (-1) cdot y + 3 cdot z 2 cdot x + 1 cdot y + (-1) cdot z = x - y + 3z 2x + y - z
Portanto, a transformação T(x, y, z) = (x - y + 3z, 2x + y - z) é dada por:
Então, a resposta final é:

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