Seja uma transformação linear definida por , e . Determinar .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear que transforma vetores de três dimensões em vetores de duas dimensões. Nos foram dadas três imagens dessa transformação:
Nosso objetivo é encontrar uma expressão geral para , ou seja, descobrir como qualquer vetor será transformado por .
Passo 2
Vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. Nesse caso, como vai de para , a matriz terá 2 linhas e 3 colunas. Vamos chamar essa matriz de :
Então, a transformação pode ser escrita como:
Nosso objetivo agora é encontrar os valores de .
Passo 3
Para encontrar os valores dos coeficientes da matriz a cdot 1 + b cdot 1 + c cdot 1 = 3 d cdot 1 + e cdot 1 + f cdot 1 = 2 , vamos usar as informações que nos foram dadas sobre a transformação a + b + c = 3 d + e + f = 2 . Vamos substituir os vetores fornecidos nas equações da transformação.
Primeiro, para :
Simplificando:
Passo 4
Agora, para a cdot 1 + b cdot 0 + c cdot 1 = 4 d cdot 1 + e cdot 0 + f cdot 1 = 1 :
a + c = 4 d + f = 1
Simplificando:
Passo 5
Finalmente, para a cdot 0 + b cdot 0 + c cdot 1 = 3 d cdot 0 + e cdot 0 + f cdot 1 = -1 :
c = 3 f = -1
Simplificando:
Passo 6
Agora que já sabemos que a + 3 = 4 implies a = 4 - 3 implies a = 1 e d + (-1) = 1 implies d = 1 + 1 implies d = 2 , podemos substituir esses valores nas equações anteriores para encontrar os outros coeficientes.
Substituindo na equação :
Substituindo na equação :
Passo 7
Agora, temos 1 + b + 3 = 3 implies b + 4 = 3 implies b = 3 - 4 implies b = -1 , 2 + e + (-1) = 2 implies e + 1 = 2 implies e = 2 - 1 implies e = 1 , e . Vamos usar a primeira equação para encontrar :
E para encontrar , usamos a segunda equação :
Resposta
Com todos os coeficientes encontrados, a matriz A = 1 & -1 & 3 2 & 1 & -1 fica:
T(x, y, z) = 1 & -1 & 3 2 & 1 & -1 x y z = 1 cdot x + (-1) cdot y + 3 cdot z 2 cdot x + 1 cdot y + (-1) cdot z = x - y + 3z 2x + y - z
Portanto, a transformação T(x, y, z) = (x - y + 3z, 2x + y - z) é dada por: