Seja uma transformação linear definida por , e . Determinar .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear que transforma vetores de três dimensões em vetores de duas dimensões. Nos foram dadas três imagens dessa transformação:
Nosso objetivo é encontrar uma expressão geral para , ou seja, descobrir como qualquer vetor será transformado por .
Passo 2
Vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. Nesse caso, como vai de para , a matriz terá 2 linhas e 3 colunas. Vamos chamar essa matriz de :
Então, a transformação pode ser escrita como:
Nosso objetivo agora é encontrar os valores de .
Passo 3
Para encontrar os valores dos coeficientes da matriz , vamos usar as informações que nos foram dadas sobre a transformação . Vamos substituir os vetores fornecidos nas equações da transformação.
Primeiro, para :
Simplificando:
Passo 4
Agora, para :
Simplificando:
Passo 5
Finalmente, para :
Simplificando:
Passo 6
Agora que já sabemos que e , podemos substituir esses valores nas equações anteriores para encontrar os outros coeficientes.
Substituindo na equação :
Substituindo na equação :
Passo 7
Agora, temos , , e . Vamos usar a primeira equação para encontrar :
E para encontrar , usamos a segunda equação :
Resposta
Com todos os coeficientes encontrados, a matriz fica: