Verificar se a função
é linear.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a função
, definida por
, é linear. Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear na matemática. Basicamente, uma função é linear se ela respeita duas propriedades principais: aditividade e homogeneidade. Vamos usar essas ideias para resolver o problema passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que uma função é linear. Uma transformação
é linear se, para quaisquer vetores
e
em
, e para qualquer escalar
, as seguintes condições são verdadeiras:
-
(Aditividade) -
(Homogeneidade)
Vamos checar essas condições para a função dada.
Passo 3
Vamos começar verificando se a função
preserva a aditividade. Ou seja, precisamos ver se
.
Calculando o lado esquerdo:
Calculando o lado direito:
Observamos que os dois lados não são iguais porque, no lado esquerdo, temos
que expande para
, enquanto no lado direito temos apenas
. Portanto, a aditividade não é satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a homogeneidade. Precisamos ver se
para qualquer escalar
.
Calculando o lado esquerdo:
Calculando o lado direito:
Novamente, vemos que os dois lados não são iguais porque no lado esquerdo temos
e
, enquanto no lado direito temos
e
. Portanto, a homogeneidade também não é satisfeita.
Resposta
Como a função
não satisfaz as condições de aditividade e homogeneidade, concluímos que
não é uma transformação linear.