Verificar se a função é linear.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a função , definida por , é linear. Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear na matemática. Basicamente, uma função é linear se ela respeita duas propriedades principais: aditividade e homogeneidade. Vamos usar essas ideias para resolver o problema passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que uma função é linear. Uma transformação é linear se, para quaisquer vetores e em , e para qualquer escalar , as seguintes condições são verdadeiras:
  1. (Aditividade)
  2. (Homogeneidade)
Vamos checar essas condições para a função dada.

Passo 3

Vamos começar verificando se a função preserva a aditividade. Ou seja, precisamos ver se .
Calculando o lado esquerdo:
Calculando o lado direito:
Observamos que os dois lados não são iguais porque, no lado esquerdo, temos que expande para , enquanto no lado direito temos apenas . Portanto, a aditividade não é satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a homogeneidade. Precisamos ver se para qualquer escalar .
Calculando o lado esquerdo:
Calculando o lado direito:
Novamente, vemos que os dois lados não são iguais porque no lado esquerdo temos e , enquanto no lado direito temos e . Portanto, a homogeneidade também não é satisfeita.

Resposta

Como a função não satisfaz as condições de aditividade e homogeneidade, concluímos que não é uma transformação linear.

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