Verificar se a função T: I R^2 R^2 ; T(x, y)=(x-2 y^2, x-1) é linear.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a função , definida por , é linear. Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear na matemática. Basicamente, uma função é linear se ela respeita duas propriedades principais: aditividade e homogeneidade. Vamos usar essas ideias para resolver o problema passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que uma função é linear. Uma transformação é linear se, para quaisquer vetores e em , e para qualquer escalar , as seguintes condições são verdadeiras:
  1. (Aditividade)
  2. (Homogeneidade)
Vamos checar essas condições para a função dada.

Passo 3

Vamos começar verificando se a função T((x1 + x2, y1 + y2)) = ( (x1 + x2) - 2(y1 + y2)^2, (x1 + x2) - 1 ) preserva a aditividade. Ou seja, precisamos ver se T(x1, y1) + T(x2, y2) = ( x1 - 2y1^2, x1 - 1 ) + ( x2 - 2y2^2, x2 - 1 ) = ( x1 + x2 - 2y1^2 - 2y2^2, x1 + x2 - 2 ) .
Calculando o lado esquerdo:
Calculando o lado direito:
Observamos que os dois lados não são iguais porque, no lado esquerdo, temos que expande para , enquanto no lado direito temos apenas . Portanto, a aditividade não é satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a homogeneidade. Precisamos ver se T(c x, c y) = ( c x - 2(c y)^2, c x - 1 ) = ( c x - 2c^2 y^2, c x - 1 ) para qualquer escalar c T(x, y) = c ( x - 2y^2, x - 1 ) = ( c x - 2c y^2, c x - c ) .
Calculando o lado esquerdo:
Calculando o lado direito:
Novamente, vemos que os dois lados não são iguais porque no lado esquerdo temos e , enquanto no lado direito temos e . Portanto, a homogeneidade também não é satisfeita.

Resposta

Como a função não satisfaz as condições de aditividade e homogeneidade, concluímos que não é uma transformação linear.

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