Determinar a equação da reta tangente à elipse
no ponto
.
Passo 1
Então, a gente tem que encontrar a equação da reta tangente à elipse dada pelas equações paramétricas
e
no ponto
. Vamos usar cálculo diferencial para encontrar essa reta, especificamente derivando as funções paramétricas para achar a inclinação da tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o valor do parâmetro
que corresponde ao ponto
. Sabemos que
. Então:
O valor de
que satisfaz essa equação no intervalo
é
.
Passo 3
Agora, vamos derivar
e
em relação a
para encontrar
, que é a inclinação da tangente:
Então:
No ponto
, temos:
Portanto, a inclinação da reta tangente é
.
Passo 4
Agora que sabemos a inclinação da reta tangente (
) e temos um ponto por onde ela passa
, podemos usar a forma da equação da reta:
Substituindo os valores:
Passo 5
Vamos simplificar a equação para a forma geral da reta:
Somando
em ambos os lados:
Resposta
A equação da reta tangente é: