Determinar a equação da reta tangente à elipse x = 2 cos(t) y = 2 sen(t) no ponto .

Passo 1

Então, a gente tem que encontrar a equação da reta tangente à elipse dada pelas equações paramétricas e no ponto . Vamos usar cálculo diferencial para encontrar essa reta, especificamente derivando as funções paramétricas para achar a inclinação da tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o valor do parâmetro que corresponde ao ponto . Sabemos que . Então:
O valor de que satisfaz essa equação no intervalo é .

Passo 3

Agora, vamos derivar e em relação a para encontrar , que é a inclinação da tangente:
Então:
No ponto , temos:
Portanto, a inclinação da reta tangente é .

Passo 4

Agora que sabemos a inclinação da reta tangente ( ) e temos um ponto por onde ela passa , podemos usar a forma da equação da reta:
Substituindo os valores:

Passo 5

Vamos simplificar a equação para a forma geral da reta:
Somando em ambos os lados:

Resposta

A equação da reta tangente é:

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