Calculate the quantities nabla u, nabla times u, nabla^2 u, nabla u, tr(nabla u) for the following Cartesian vector fields:
(b) u=x1^2 e1+2 x1 x2 e2+x3^3 e3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular várias operações vetoriais para o campo vetorial dado:
u = x1^2 e1 + 2 x1 x2 e2 + x3^3 e3
Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como divergente, rotacional, laplaciano, gradiente e traço do gradiente. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergente de nabla cdot u = partial u1partial x1 + partial u2partial x2 + partial u3partial x3 , que é denotada por partial u1partial x1 = partialpartial x1 (x1^2) = 2x1 .
Divergente ( partial u2partial x2 = partialpartial x2 (2x1x2) = 2x1 ): É uma medida de quanto um campo vetorial está “espalhando” a partir de um ponto. Matematicamente, para partial u3partial x3 = partialpartial x3 (x3^3) = 3x3^2 ,
nabla cdot u = 2x1 + 2x1 + 3x3^2 = 4x1 + 3x3^2
Vamos calcular cada derivada:
Somando tudo:

Passo 3

Agora, vamos calcular o rotacional de nabla times u = ( partial u3partial x2 - partial u2partial x3 ) e1 + ( partial u1partial x3 - partial u3partial x1 ) e2 + ( partial u2partial x1 - partial u1partial x2 ) e3 , ou seja, partial u3partial x2 = partialpartial x2 (x3^3) = 0 .
Rotacional ( partial u2partial x3 = partialpartial x3 (2x1x2) = 0 ): Mede a tendência do campo vetorial de girar em torno de um ponto. A fórmula para o rotacional em coordenadas cartesianas é:
partial u1partial x3 = partialpartial x3 (x1^2) = 0
Vamos calcular cada componente:
partial u3partial x1 = partialpartial x1 (x3^3) = 0
partial u2partial x1 = partialpartial x1 (2x1x2) = 2x2
Então, a primeira componente é partial u1partial x2 = partialpartial x2 (x1^2) = 0 .
nabla times u = 0 e1 + 0 e2 + 2x2 e3 = 2x2 e3
Segunda componente: .
Terceira componente: .
Portanto,

Passo 4

Vamos em frente e calcular o laplaciano de nabla^2 u = ( nabla^2 u1 ) e1 + ( nabla^2 u2 ) e2 + ( nabla^2 u3 ) e3 , denotado por nabla^2 f = partial^2 fpartial x1^2 + partial^2 fpartial x2^2 + partial^2 fpartial x3^2 .
Laplaciano ( partial^2 u1partial x1^2 = partialpartial x1 (2x1) = 2 ): É uma operação que aplica o operador laplaciano a cada componente do vetor. Para partial^2 u1partial x2^2 = 0 ,
partial^2 u1partial x3^2 = 0
Onde o laplaciano de uma função escalar nabla^2 u1 = 2 + 0 + 0 = 2 é:
partial^2 u2partial x1^2 = partialpartial x1 (2x2) = 0
Vamos calcular para cada componente de partial^2 u2partial x2^2 = partialpartial x2 (2x1) = 0 :
Para partial^2 u2partial x3^2 = 0 :
nabla^2 u2 = 0 + 0 + 0 = 0
partial^2 u3partial x1^2 = 0
partial^2 u3partial x2^2 = 0
Então,
partial^2 u3partial x3^2 = partialpartial x3 (3x3^2) = 6x3
Para nabla^2 u3 = 0 + 0 + 6x3 = 6x3 :
nabla^2 u = 2 e1 + 0 e2 + 6x3 e3
Então,
Para :
Então,
Portanto,

Passo 5

Agora, vamos calcular o gradiente de nabla u = partial u1partial x1 & partial u1partial x2 & partial u1partial x3 partial u2partial x1 & partial u2partial x2 & partial u2partial x3 partial u3partial x1 & partial u3partial x2 & partial u3partial x3 , ou seja, partial u1partial x1 = partialpartial x1 (x1^2) = 2x1 .
Gradiente ( partial u1partial x2 = partialpartial x2 (x1^2) = 0 ): É um tensor que contém todas as derivadas parciais das componentes de partial u1partial x3 = partialpartial x3 (x1^2) = 0 . Ele é representado por uma matriz onde cada elemento partial u2partial x1 = partialpartial x1 (2x1x2) = 2x2 é partial u2partial x2 = partialpartial x2 (2x1x2) = 2x1 .
Para partial u2partial x3 = partialpartial x3 (2x1x2) = 0 ,
partial u3partial x1 = partialpartial x1 (x3^3) = 0
Vamos calcular cada derivada:
partial u3partial x2 = partialpartial x2 (x3^3) = 0
partial u3partial x3 = partialpartial x3 (x3^3) = 3x3^2
nabla u = 2x1 & 0 & 0 2x2 & 2x1 & 0 0 & 0 & 3x3^2
Então, a matriz jacobiana é:

Passo 6

Por último, vamos encontrar o traço do gradiente de tr(nabla u) = 2x1 + 2x1 + 3x3^2 = 4x1 + 3x3^2 , que é .
Traço ( ): O traço de uma matriz é a soma dos elementos da diagonal principal. No contexto do gradiente, é igual à divergente do campo vetorial.
Então, usando a matriz que calculamos:

Resposta

As quantidades calculadas para o campo vetorial nabla cdot u &= 4x1 + 3x3^2 nabla times u &= 2x2 e3 nabla^2 u &= 2 e1 + 0 e2 + 6x3 e3 nabla u &= 2x1 & 0 & 0 2x2 & 2x1 & 0 0 & 0 & 3x3^2 tr(nabla u) &= 4x1 + 3x3^2 são:

Exercícios relacionados