Calculate the quantities
,
for the following Cartesian vector fields:
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular várias operações vetoriais para o campo vetorial dado:
Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como divergente, rotacional, laplaciano, gradiente e traço do gradiente. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a divergente de
, que é denotada por
.
Divergente (
): É uma medida de quanto um campo vetorial está “espalhando” a partir de um ponto. Matematicamente, para
,
Vamos calcular cada derivada:
Somando tudo:
Passo 3
Agora, vamos calcular o rotacional de
, ou seja,
.
Rotacional (
): Mede a tendência do campo vetorial de girar em torno de um ponto. A fórmula para o rotacional em coordenadas cartesianas é:
Vamos calcular cada componente:
Então, a primeira componente é
.
Segunda componente:
.
Terceira componente:
.
Portanto,
Passo 4
Vamos em frente e calcular o laplaciano de
, denotado por
.
Laplaciano (
): É uma operação que aplica o operador laplaciano a cada componente do vetor. Para
,
Onde o laplaciano de uma função escalar
é:
Vamos calcular para cada componente de
:
Para
:
Então,
Para
:
Então,
Para
:
Então,
Portanto,
Passo 5
Agora, vamos calcular o gradiente de
, ou seja,
.
Gradiente (
): É um tensor que contém todas as derivadas parciais das componentes de
. Ele é representado por uma matriz onde cada elemento
é
.
Para
,
Vamos calcular cada derivada:
Então, a matriz jacobiana é:
Passo 6
Por último, vamos encontrar o traço do gradiente de
tr(nabla u) = 2x1 + 2x1 + 3x3^2 = 4x1 + 3x3^2 , que é
.
Traço (
): O traço de uma matriz é a soma dos elementos da diagonal principal. No contexto do gradiente, é igual à divergente do campo vetorial.
Então, usando a matriz que calculamos:
Resposta
As quantidades calculadas para o campo vetorial
nabla cdot u &= 4x1 + 3x3^2 nabla times u &= 2x2 e3 nabla^2 u &= 2 e1 + 0 e2 + 6x3 e3 nabla u &= 2x1 & 0 & 0 2x2 & 2x1 & 0 0 & 0 & 3x3^2 tr(nabla u) &= 4x1 + 3x3^2 são: