Calculate the quantities
,
for the following Cartesian vector fields:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular várias operações vetoriais para o campo vetorial dado:
Vamos trabalhar com tópicos de cálculo vetorial, como divergente (
), rotacional (
), laplaciano (
), gradiente (
) e traço do gradiente (
). Para isso, vamos precisar saber como derivar funções parciais e aplicar essas operações.
Passo 2
Vamos começar calculando o divergente de
, que é uma medida de quão “divergente” o campo vetorial é em um ponto. A fórmula é:
Onde
,
, e
são as componentes de
.
Passo 3
Calculando cada derivada parcial:
-
(porque não depende de ). -
. -
(porque não depende de ).
Passo 4
Agora, somando essas derivadas:
Isso significa que o divergente de
é
.
Passo 5
Vamos para o rotacional (
), que mostra a tendência do campo vetorial de girar ao redor de um ponto. A fórmula em coordenadas cartesianas é:
Passo 6
Calculando cada termo:
-
. -
. -
. -
. -
. -
.
Passo 7
Substituindo na fórmula do rotacional:
Simplificando:
Passo 8
Agora, vamos calcular o laplaciano de
, que aplica o operador laplaciano a cada componente do vetor. A fórmula é:
Onde
.
Passo 9
Calculando cada laplaciano:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 10
Montando o laplaciano de
:
Passo 11
Vamos calcular agora o gradiente de
, que resulta em uma matriz onde cada elemento é a derivada parcial de uma componente de
em relação a uma coordenada. A matriz fica assim:
Passo 12
Calculando cada derivada parcial:
-
, , . -
, , . -
, , .
Passo 13
Montando a matriz do gradiente:
Passo 14
Por fim, vamos calcular o traço da matriz do gradiente, que é a soma dos elementos na diagonal principal. Ou seja:
Resposta
As quantidades calculadas para o campo vetorial dado são: