Calculate the quantities nabla u, nabla times u, nabla^2 u, nabla u, tr(nabla u) for the following Cartesian vector fields:
© u=x2^2 e1+2 x2 x3 e2+4 x1^2 e3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular várias operações vetoriais para o campo vetorial dado:
u = x2^2 e1 + 2 x2 x3 e2 + 4 x1^2 e3
Vamos trabalhar com tópicos de cálculo vetorial, como divergente ( ), rotacional ( ), laplaciano ( ), gradiente ( ) e traço do gradiente ( ). Para isso, vamos precisar saber como derivar funções parciais e aplicar essas operações.

Passo 2

Vamos começar calculando o divergente de nabla cdot u = partial u1partial x1 + partial u2partial x2 + partial u3partial x3 , que é uma medida de quão “divergente” o campo vetorial é em um ponto. A fórmula é:
Onde , , e são as componentes de .

Passo 3

Calculando cada derivada parcial:
  • (porque não depende de ).
  • .
  • (porque não depende de ).

Passo 4

Agora, somando essas derivadas:
nabla cdot u = 0 + 2x3 + 0 = 2x3
Isso significa que o divergente de é .

Passo 5

Vamos para o rotacional ( nabla times u = ( partial u3partial x2 - partial u2partial x3 ) e1 + ( partial u1partial x3 - partial u3partial x1 ) e2 + ( partial u2partial x1 - partial u1partial x2 ) e3 ), que mostra a tendência do campo vetorial de girar ao redor de um ponto. A fórmula em coordenadas cartesianas é:

Passo 6

Calculando cada termo:
  • .
  • .
  • .
  • .
  • .
  • .

Passo 7

Substituindo na fórmula do rotacional:
nabla times u = (0 - 2x2) e1 + (0 - 8x1) e2 + (0 - 2x2) e3
Simplificando:
nabla times u = -2x2 e1 - 8x1 e2 - 2x2 e3

Passo 8

Agora, vamos calcular o laplaciano de nabla^2 u = ( nabla^2 u1 ) e1 + ( nabla^2 u2 ) e2 + ( nabla^2 u3 ) e3 , que aplica o operador laplaciano a cada componente do vetor. A fórmula é:
Onde .

Passo 9

Calculando cada laplaciano:
  • Para nabla^2 u1 = partial^2 x2^2partial x1^2 + partial^2 x2^2partial x2^2 + partial^2 x2^2partial x3^2 = 0 + 2 + 0 = 2 :
nabla^2 u2 = partial^2 (2x2x3)partial x1^2 + partial^2 (2x2x3)partial x2^2 + partial^2 (2x2x3)partial x3^2 = 0 + 0 + 0 = 0
  • Para nabla^2 u3 = partial^2 (4x1^2)partial x1^2 + partial^2 (4x1^2)partial x2^2 + partial^2 (4x1^2)partial x3^2 = 8 + 0 + 0 = 8 :
  • Para :

Passo 10

Montando o laplaciano de nabla^2 u = 2 e1 + 0 e2 + 8 e3 = 2,e1 + 8,e3 :

Passo 11

Vamos calcular agora o gradiente de nabla u = partial u1partial x1 & partial u1partial x2 & partial u1partial x3 partial u2partial x1 & partial u2partial x2 & partial u2partial x3 partial u3partial x1 & partial u3partial x2 & partial u3partial x3 , que resulta em uma matriz onde cada elemento é a derivada parcial de uma componente de em relação a uma coordenada. A matriz fica assim:

Passo 12

Calculando cada derivada parcial:
  • , , .
  • , , .
  • , , .

Passo 13

Montando a matriz do gradiente:
nabla u = 0 & 2x2 & 0 0 & 2x3 & 2x2 8x1 & 0 & 0

Passo 14

Por fim, vamos calcular o traço da matriz do gradiente, que é a soma dos elementos na diagonal principal. Ou seja:
tr(nabla u) = partial u1partial x1 + partial u2partial x2 + partial u3partial x3 = 0 + 2x3 + 0 = 2x3

Resposta

As quantidades calculadas para o campo vetorial dado são:
nabla cdot u &= 2x3, nabla times u &= -2x2 e1 - 8x1 e2 - 2x2 e3, nabla^2 u &= 2,e1 + 8,e3, nabla u &= 0 & 2x2 & 0 0 & 2x3 & 2x2 8x1 & 0 & 0 , tr(nabla u) &= 2x3

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