For the given matrix/vector pairs, compute the following quantities: . For each case, point out whether the result is a scalar, vector or matrix. Note that is actually the matrix product [a] , while is the product .
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A gente tem uma matriz e um vetor . O que a gente precisa fazer é calcular várias combinações desses elementos, tipo , , etc., e identificar se cada resultado é um escalar, vetor ou matriz. Pra isso, vamos usar conceitos de matrizes e vetores, como multiplicação e soma de elementos. Vamos com calma, passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular aij = 1 & 2 & 0 0 & 2 & 1 0 & 4 & 2 , que representa os elementos da diagonal principal da matriz . Isso significa que a gente pega os elementos onde o índice da linha é igual ao da coluna.
A matriz dada é:
Então, os elementos são:
Passo 3
Agora, vamos calcular aij aij = (1)^2 + (2)^2 + (0)^2 + (0)^2 + (2)^2 + (1)^2 + (0)^2 + (4)^2 + (2)^2 = 1 + 4 + 0 + 0 + 4 + 1 + 0 + 16 + 4 = 30 . Esse termo envolve a multiplicação de cada elemento da matriz por ele mesmo e depois somar todos esses produtos. Basicamente, estamos calculando a soma dos quadrados de todos os elementos da matriz.
Calculando:
Passo 4
Vamos calcular a = 1 & 2 & 0 0 & 2 & 1 0 & 4 & 2 , que é o produto da matriz a times a = 1cdot1 + 2cdot0 + 0cdot0 & 1cdot2 + 2cdot2 + 0cdot4 & 1cdot0 + 2cdot1 + 0cdot2 0cdot1 + 2cdot0 + 1cdot0 & 0cdot2 + 2cdot2 + 1cdot4 & 0cdot0 + 2cdot1 + 1cdot2 0cdot1 + 4cdot0 + 2cdot0 & 0cdot2 + 4cdot2 + 2cdot4 & 0cdot0 + 4cdot1 + 2cdot2 por ela mesma, ou seja, a times a = 1 & 6 & 2 0 & 8 & 4 0 & 16 & 8 . Isso significa que vamos multiplicar a matriz pela matriz , seguindo a regra de multiplicação de matrizes.