For the given matrix/vector pairs, compute the following quantities: ai i, ai j ai j, ai j aj k, ai j bj, ai j bi bj, bi bi. For each case, point out whether the result is a scalar, vector or matrix. Note that ai j bj is actually the matrix product [a] b, while ai j aj k is the product [a][a].
(b) ai j=[lll1 & 2 & 0 0 & 2 & 1 0 & 4 & 2], bi=[l2 1 1]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A gente tem uma matriz e um vetor . O que a gente precisa fazer é calcular várias combinações desses elementos, tipo , , etc., e identificar se cada resultado é um escalar, vetor ou matriz. Pra isso, vamos usar conceitos de matrizes e vetores, como multiplicação e soma de elementos. Vamos com calma, passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular aij = 1 & 2 & 0 0 & 2 & 1 0 & 4 & 2 , que representa os elementos da diagonal principal da matriz . Isso significa que a gente pega os elementos onde o índice da linha é igual ao da coluna.
A matriz dada é:
Então, os elementos são:

Passo 3

Agora, vamos calcular aij aij = (1)^2 + (2)^2 + (0)^2 + (0)^2 + (2)^2 + (1)^2 + (0)^2 + (4)^2 + (2)^2 = 1 + 4 + 0 + 0 + 4 + 1 + 0 + 16 + 4 = 30 . Esse termo envolve a multiplicação de cada elemento da matriz por ele mesmo e depois somar todos esses produtos. Basicamente, estamos calculando a soma dos quadrados de todos os elementos da matriz.
Calculando:

Passo 4

Vamos calcular a = 1 & 2 & 0 0 & 2 & 1 0 & 4 & 2 , que é o produto da matriz a times a = 1cdot1 + 2cdot0 + 0cdot0 & 1cdot2 + 2cdot2 + 0cdot4 & 1cdot0 + 2cdot1 + 0cdot2 0cdot1 + 2cdot0 + 1cdot0 & 0cdot2 + 2cdot2 + 1cdot4 & 0cdot0 + 2cdot1 + 1cdot2 0cdot1 + 4cdot0 + 2cdot0 & 0cdot2 + 4cdot2 + 2cdot4 & 0cdot0 + 4cdot1 + 2cdot2 por ela mesma, ou seja, a times a = 1 & 6 & 2 0 & 8 & 4 0 & 16 & 8 . Isso significa que vamos multiplicar a matriz pela matriz , seguindo a regra de multiplicação de matrizes.
Primeiro, escrevemos a matriz :
Multiplicando por :
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos calcular a times b = 1 & 2 & 0 0 & 2 & 1 0 & 4 & 2 times 2 1 1 = 1cdot2 + 2cdot1 + 0cdot1 0cdot2 + 2cdot1 + 1cdot1 0cdot2 + 4cdot1 + 2cdot1 = 4 3 6 , bi bj = 2 1 1 times 2 & 1 & 1 = 4 & 2 & 2 2 & 1 & 1 2 & 1 & 1 e a times (bi bj) = 1 & 2 & 0 0 & 2 & 1 0 & 4 & 2 times 4 & 2 & 2 2 & 1 & 1 2 & 1 & 1 .
  1. a times (bi bj) = 1cdot4 + 2cdot2 + 0cdot2 & 1cdot2 + 2cdot1 + 0cdot1 & 1cdot2 + 2cdot1 + 0cdot1 0cdot4 + 2cdot2 + 1cdot2 & 0cdot2 + 2cdot1 + 1cdot1 & 0cdot2 + 2cdot1 + 1cdot1 0cdot4 + 4cdot2 + 2cdot2 & 0cdot2 + 4cdot1 + 2cdot1 & 0cdot2 + 4cdot1 + 2cdot1 = 8 & 4 & 4 6 & 3 & 3 12 & 6 & 6 : Isso é a multiplicação da matriz bi bi = 2^2 + 1^2 + 1^2 = 4 + 1 + 1 = 6 pelo vetor . O resultado será um vetor.
  1. : Primeiro, calculamos , que é o produto externo do vetor consigo mesmo, resultando em uma matriz. Depois multiplicamos pela matriz .
Multiplicando por :
Calculando cada elemento:
  1. : Isso é a soma dos quadrados dos elementos do vetor , ou seja, um escalar.

Resposta

aii &= 1 & 2 & 2 (vetor) aij aij &= 30 (escalar) aij ajk &= 1 & 6 & 2 0 & 8 & 4 0 & 16 & 8 (matriz) aij bj &= 4 3 6 (vetor) aij bi bj &= 8 & 4 & 4 6 & 3 & 3 12 & 6 & 6 (matriz) bi bi &= 6 (escalar)

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