Esboce a curva e determine a equação cartesiana
beta(t)=(1-t^2, 2-t^2), t in R

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma curva definida por uma função paramétrica beta(t) = (1 - t^2, 2 - t^2), onde t é um número real. Nosso objetivo é esboçar essa curva e encontrar sua equação cartesiana, que é uma relação direta entre x e y, sem o parâmetro t. Para isso, vamos precisar eliminar o parâmetro t das duas equações dadas.

Passo 2

Vamos começar observando as componentes da função paramétrica:
x = 1 - t^2
y = 2 - t^2
Perceba que ambas as equações têm o termo t^2. Isso nos dá uma pista de como podemos relacionar x e y diretamente.

Passo 3

Primeiro, vamos isolar t^2 na equação de x:
x = 1 - t^2 implies t^2 = 1 - x
Agora que expressamos t^2 em termos de x, podemos substituir esse valor na equação de y.

Passo 4

Substituindo t^2 = 1 - x na equação de y, temos:
y = 2 - t^2 = 2 - (1 - x) = 2 - 1 + x = x + 1
Então, a relação entre x e y é y = x + 1.

Passo 5

Para esboçar a curva, podemos notar que y = x + 1 é uma reta com inclinação 1 e interceptação no ponto (0,1). Isso significa que para cada aumento de 1 em x, y também aumenta 1. Portanto, a curva é uma reta diagonal que passa pelo ponto (0,1).

Resposta

A equação cartesiana da curva é y = x + 1.

Exercícios relacionados