Calculc a integral
onde
é o círculo de raio 2 centrado na origem, parametrizado por
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral complexa que é
. A matéria que vamos usar aqui é a Análise Complexa, mais especificamente o Teorema dos Resíduos, que nos ajuda a calcular integrais em contornos fechados. Para resolver isso, vamos precisar identificar os pontos onde a função tem singularidades (onde ela “explode”) e ver quais desses pontos estão dentro do nosso contorno
, que é um círculo de raio 2 centrado na origem.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as singularidades da função
. Essas são os valores de
que fazem o denominador zero, então resolvemos:
Isso dá
,
e
. Essas são as singularidades da nossa função.
Passo 3
Agora, precisamos verificar quais dessas singularidades estão dentro do círculo
de raio 2. Como
é centrado na origem e tem raio 2, ele inclui todos os pontos
com
. Vemos que:
Então, todas as três singularidades (
,
e
) estão dentro do nosso contorno.
Passo 4
Vamos calcular o resíduo em cada singularidade. O resíduo é basicamente o coeficiente do termo
na expansão da função ao redor de
.
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 5
Agora que temos os resíduos, aplicamos o Teorema dos Resíduos, que diz que a integral é igual a
vezes a soma dos resíduos dentro do contorno: