onde é o círculo de raio 2 centrado na origem, parametrizado por .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral complexa que é . A matéria que vamos usar aqui é a Análise Complexa, mais especificamente o Teorema dos Resíduos, que nos ajuda a calcular integrais em contornos fechados. Para resolver isso, vamos precisar identificar os pontos onde a função tem singularidades (onde ela “explode”) e ver quais desses pontos estão dentro do nosso contorno , que é um círculo de raio 2 centrado na origem.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as singularidades da função . Essas são os valores de que fazem o denominador zero, então resolvemos:
Isso dá , e . Essas são as singularidades da nossa função.
Passo 3
Agora, precisamos verificar quais dessas singularidades estão dentro do círculo de raio 2. Como é centrado na origem e tem raio 2, ele inclui todos os pontos com . Vemos que:
Então, todas as três singularidades (, e ) estão dentro do nosso contorno.
Passo 4
Vamos calcular o resíduo em cada singularidade. O resíduo é basicamente o coeficiente do termo na expansão da função ao redor de .
Para :
Para :
Para :
Passo 5
Agora que temos os resíduos, aplicamos o Teorema dos Resíduos, que diz que a integral é igual a vezes a soma dos resíduos dentro do contorno: