Calculc a integral
integralGamma 1z(z^2-1) d z
onde Gamma é o círculo de raio 2 centrado na origem, parametrizado por gamma(t)=2 e^it, t in[0,2 pi].

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral complexa que é . A matéria que vamos usar aqui é a Análise Complexa, mais especificamente o Teorema dos Resíduos, que nos ajuda a calcular integrais em contornos fechados. Para resolver isso, vamos precisar identificar os pontos onde a função tem singularidades (onde ela “explode”) e ver quais desses pontos estão dentro do nosso contorno , que é um círculo de raio 2 centrado na origem.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as singularidades da função z(z^2 - 1) = 0 . Essas são os valores de que fazem o denominador zero, então resolvemos:
Isso dá , e . Essas são as singularidades da nossa função.

Passo 3

Agora, precisamos verificar quais dessas singularidades estão dentro do círculo |0| = 0 < 2, |1| = 1 < 2, |-1| = 1 < 2 de raio 2. Como é centrado na origem e tem raio 2, ele inclui todos os pontos com . Vemos que:
Então, todas as três singularidades ( , e ) estão dentro do nosso contorno.

Passo 4

Vamos calcular o resíduo em cada singularidade. O resíduo é basicamente o coeficiente do termo Res(f, 0) = limz to 0 z cdot 1z(z^2 - 1) = limz to 0 1z^2 - 1 = 1-1 = -1 na expansão da função ao redor de Res(f, 1) = limz to 1 (z - 1) cdot 1z(z^2 - 1) = limz to 1 1z(z + 1) = 11 cdot 2 = 12 .
Para Res(f, -1) = limz to -1 (z + 1) cdot 1z(z^2 - 1) = limz to -1 1z(z - 1) = 1-1 cdot (-2) = 12 :
Para :
Para :

Passo 5

Agora que temos os resíduos, aplicamos o Teorema dos Resíduos, que diz que a integral é igual a integralGamma 1z(z^2-1) dz = 2pi i ( Res(f, 0) + Res(f, 1) + Res(f, -1) ) = 2pi i (-1 + 12 + 12) = 2pi i (0) = 0 vezes a soma dos resíduos dentro do contorno:

Resposta

integralGamma 1z(z^2-1) dz = 0

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