Sejam a, b, c, d os quatro últimos dígitos do seu RA. Defina A = [[a, b], [c, d]]. Considere o sistema X' = A X + F(t), com
F(t) = C(a+b)^t / e^(a-c)^t
Determine a solução do PVI:
X' = A X + F(t) X(0) = (1, -2)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema de equações diferenciais lineares do tipo , onde é uma matriz 2x2 formada pelos últimos quatro dígitos do seu RA, e é um vetor função de . O objetivo é encontrar a solução desse sistema que satisfaz a condição inicial .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especialmente sobre resolução de sistemas lineares e equações diferenciais, além de entender como aplicar a matriz exponencial. Não se preocupe se esses termos parecem complicados agora; vamos explicar cada passo de forma simples.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que para resolver o sistema , precisamos encontrar a solução geral que é a soma da solução da parte homogênea ( ) e uma solução particular do sistema completo.
A parte homogênea tem solução da forma , onde é a matriz exponencial de e é um vetor constante que será determinado pelas condições iniciais.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para o sistema completo . Para isso, usamos o método da variação de parâmetros, que nos diz que a solução particular pode ser encontrada pela integral:
Aqui, é uma variável de integração que varia de 0 a .

Passo 4

Então, a solução geral do sistema é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Agora, precisamos determinar o vetor constante usando a condição inicial.

Passo 5

Aplicando a condição inicial na solução geral, temos:
Portanto, .

Passo 6

Substituindo na solução geral, temos:
Esse é o resultado final, mas para deixar mais claro, podemos fatorar :

Resposta

A solução do PVI é dada por

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