Sejam os quatro últimos dígitos do seu RA. Defina . Considere o sistema , com
Determine a solução do PVI:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema de equações diferenciais lineares do tipo , onde é uma matriz 2x2 formada pelos últimos quatro dígitos do seu RA, e é um vetor função de . O objetivo é encontrar a solução desse sistema que satisfaz a condição inicial .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especialmente sobre resolução de sistemas lineares e equações diferenciais, além de entender como aplicar a matriz exponencial. Não se preocupe se esses termos parecem complicados agora; vamos explicar cada passo de forma simples.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que para resolver o sistema , precisamos encontrar a solução geral que é a soma da solução da parte homogênea () e uma solução particular do sistema completo.
A parte homogênea tem solução da forma , onde é a matriz exponencial de e é um vetor constante que será determinado pelas condições iniciais.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular para o sistema completo . Para isso, usamos o método da variação de parâmetros, que nos diz que a solução particular pode ser encontrada pela integral:
Aqui, é uma variável de integração que varia de 0 a .
Passo 4
Então, a solução geral do sistema é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Agora, precisamos determinar o vetor constante usando a condição inicial.
Passo 5
Aplicando a condição inicial na solução geral, temos:
Portanto, .
Passo 6
Substituindo na solução geral, temos:
Esse é o resultado final, mas para deixar mais claro, podemos fatorar :