Usando a expansão em série de potências
calcule
onde é o círculo de raio 1 centrado na origem, parametrizado no sentido anti-horá

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral de ao longo do contorno , que é um círculo de raio 1 centrado na origem, percorrido no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar a expansão em série de potências da função exponencial e propriedades de integrais de funções complexas.

Passo 2

Vamos começar expandindo usando a série de potências dada:
Isso nos permite reescrever a função que estamos integrando.

Passo 3

Agora, substituímos essa expansão na integral original:
Multiplicando os termos, obtemos:

Passo 4

Para calcular a integral ao longo de , precisamos identificar o termo que possui na expansão, pois apenas esse termo contribui para a integral, de acordo com o teorema dos resíduos.

Passo 5

Observando a série que obtivemos, os termos são da forma , onde é um número inteiro não negativo. Precisamos encontrar um tal que:
Resolvendo para :
Como deve ser um inteiro não negativo, não existe tal . Isso significa que não há termo com na expansão.

Passo 6

Como não há termo com , a integral ao longo de é zero.

Resposta

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Sejam os quatro últimos dígitos do seu RA. Defina . Considere o sistema , com
Determine a solução do PVI:
Calculc a integral
onde é o círculo de raio 2 centrado na origem, parametrizado por .
Calculc a integral
onde é uma curva simples fechada parametrizada no sentido anti-horário e delimitand região aberta (e simplesmente conexa) do plano complexo.
Determine a série de Fourier da função dada.