Usando a expansão em série de potências
e^w=1+u+w^22!+ldots+w^nn!+ldots
calcule
integralGamma e^1 / z^2z^4 d z
onde Gamma é o círculo de raio 1 centrado na origem, parametrizado no sentido anti-horá

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral de ao longo do contorno , que é um círculo de raio 1 centrado na origem, percorrido no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar a expansão em série de potências da função exponencial e propriedades de integrais de funções complexas.

Passo 2

Vamos começar expandindo e^1/z^2 = 1 + 1z^2 + 12! z^4 + 13! z^6 + ldots usando a série de potências dada:
Isso nos permite reescrever a função que estamos integrando.

Passo 3

Agora, substituímos essa expansão na integral original:
e^1 / z^2z^4 = (1 + 1z^2 + 12! z^4 + 13! z^6 + ldots) cdot 1z^4
Multiplicando os termos, obtemos:
1z^4 + 1z^6 + 12! z^8 + 13! z^10 + ldots

Passo 4

Para calcular a integral ao longo de , precisamos identificar o termo que possui na expansão, pois apenas esse termo contribui para a integral, de acordo com o teorema dos resíduos.

Passo 5

Observando a série que obtivemos, os termos são da forma -4 - 2n = -1 , onde -2n = 3 implies n = -32 é um número inteiro não negativo. Precisamos encontrar um tal que:
Resolvendo para :
Como deve ser um inteiro não negativo, não existe tal . Isso significa que não há termo com na expansão.

Passo 6

Como não há termo com , a integral ao longo de é zero.

Resposta

integralGamma e^1 / z^2z^4 , dz = 0

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