Usando a expansão em série de potências
calcule
onde
é o círculo de raio 1 centrado na origem, parametrizado no sentido anti-horá
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral de
ao longo do contorno
, que é um círculo de raio 1 centrado na origem, percorrido no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar a expansão em série de potências da função exponencial e propriedades de integrais de funções complexas.
Passo 2
Vamos começar expandindo
usando a série de potências dada:
Isso nos permite reescrever a função que estamos integrando.
Passo 3
Agora, substituímos essa expansão na integral original:
Multiplicando os termos, obtemos:
Passo 4
Para calcular a integral ao longo de
, precisamos identificar o termo que possui
na expansão, pois apenas esse termo contribui para a integral, de acordo com o teorema dos resíduos.
Passo 5
Observando a série que obtivemos, os termos são da forma
, onde
é um número inteiro não negativo. Precisamos encontrar um
tal que:
Resolvendo para
:
Como
deve ser um inteiro não negativo, não existe tal
. Isso significa que não há termo com
na expansão.
Passo 6
Como não há termo com
, a integral ao longo de
é zero.
Resposta
Exercícios relacionados
Sejam
os quatro últimos dígitos do seu RA. Defina
. Considere o sistema
, com
Determine a solução do PVI:
Calculc a integral
onde
é o círculo de raio 2 centrado na origem, parametrizado por
.
Calculc a integral
onde
é uma curva simples fechada parametrizada no sentido anti-horário e delimitand região aberta (e simplesmente conexa) do plano complexo.
Determine a série de Fourier da função dada.