Encontre a função y = y(x) tal que { d^2y/dx^2 = 1/(3x + 8)^2 y'(-3) = 13/3 y(-3) = -2 }

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que temos aqui. A gente precisa encontrar uma função que satisfaz uma equação diferencial de segunda ordem:
Além disso, temos duas condições que a função e sua primeira derivada devem cumprir quando :
Para resolver isso, a gente vai precisar integrar a segunda derivada para achar a primeira derivada , e depois integrar novamente para achar . Também vamos usar as condições dadas para encontrar as constantes de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a segunda derivada para encontrar a primeira derivada . A equação é:
Para integrar em relação a , podemos fazer uma substituição simples. Vamos deixar , então ou seja, .
Integrando:
Recolocando :
onde é a constante de integração.

Passo 3

Agora, vamos usar a condição para encontrar o valor de .
Substituindo na expressão de :
Calculando o denominador:
Então:
Isolando :
Portanto, a expressão de fica:

Passo 4

Agora, vamos integrar para encontrar :
Vamos separar as integrais:
Para a primeira integral, fazemos outra substituição: , então ou .
A segunda integral é direta:
Juntando tudo:
onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, usamos a segunda condição para encontrar o valor de .
Substituindo na expressão de :
Calculando dentro do logaritmo:
Então:
Isolando :
Portanto, a expressão final de é:

Resposta

A função que satisfaz todas as condições dadas é:

Exercícios relacionados