Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a integral é convergente ou divergente. Se for convergente, a gente também precisa calcular o valor dela. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente sobre funções pares e ímpares, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo de função que temos na integral. A função é uma função ímpar. Uma função é ímpar se, ao substituir por , a função fica igual a . Vamos ver:
Então, confirmamos que é uma função ímpar.

Passo 3

Agora, vamos lembrar de uma propriedade importante das funções ímpares integradas em intervalos simétricos em relação à origem, ou seja, de a . A propriedade diz que:
quando é uma função ímpar. Isso acontece porque as áreas positivas e negativas se cancelam.

Passo 4

No nosso caso, o intervalo de integração é de a , que é simétrico em relação à origem. Como a nossa função é ímpar, podemos aplicar essa propriedade:

Resposta

A integral é convergente e seu valor é 0.

Exercícios relacionados

Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas. Decida quando integrar em relação a ou . Então, calcule a área da região.
Um projétil é lançado verticalmente para cima de uma altura de em relação ao solo, com uma velocidade inicial de num local onde a aceleração da gravidade é dada por . Desprezando-se a resistência do ar, a aceleração do projétil é dada por . Determine a equação horária da posição e a altura máxima atingida pelo projétil.
Encontre a função tal que
Calculc a integral
onde é o círculo de raio 2 centrado na origem, parametrizado por .