Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
integral-infty^infty r e^-r^2 d r

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a integral é convergente ou divergente. Se for convergente, a gente também precisa calcular o valor dela. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente sobre funções pares e ímpares, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo de função que temos na integral. A função f(-r) = (-r) e^-(-r)^2 = -r e^-r^2 = -f(r) é uma função ímpar. Uma função é ímpar se, ao substituir por , a função fica igual a . Vamos ver:
Então, confirmamos que é uma função ímpar.

Passo 3

Agora, vamos lembrar de uma propriedade importante das funções ímpares integradas em intervalos simétricos em relação à origem, ou seja, de integral-a^a f(r) dr = 0 a . A propriedade diz que:
quando é uma função ímpar. Isso acontece porque as áreas positivas e negativas se cancelam.

Passo 4

No nosso caso, o intervalo de integração é de integral-infty^infty r e^-r^2 dr = 0 a , que é simétrico em relação à origem. Como a nossa função é ímpar, podemos aplicar essa propriedade:

Resposta

A integral é convergente e seu valor é 0.

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