Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a integral
é convergente ou divergente. Se for convergente, a gente também precisa calcular o valor dela. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente sobre funções pares e ímpares, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o tipo de função que temos na integral. A função
é uma função ímpar. Uma função é ímpar se, ao substituir
por
, a função fica igual a
. Vamos ver:
Então, confirmamos que é uma função ímpar.
Passo 3
Agora, vamos lembrar de uma propriedade importante das funções ímpares integradas em intervalos simétricos em relação à origem, ou seja, de
a
. A propriedade diz que:
quando
é uma função ímpar. Isso acontece porque as áreas positivas e negativas se cancelam.
Passo 4
No nosso caso, o intervalo de integração é de
a
, que é simétrico em relação à origem. Como a nossa função
é ímpar, podemos aplicar essa propriedade:
Resposta
A integral
é convergente e seu valor é 0.