Calculc a integral
onde é uma curva simples fechada parametrizada no sentido anti-horário e delimitand região aberta (e simplesmente conexa) do plano complexo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de ao longo de uma curva fechada que está no sentido anti-horário e envolve uma região simplesmente conexa no plano complexo. Aqui, estamos trabalhando com Análise Complexa, especificamente com integrais de contorno. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema dos Resíduos, que nos ajuda a calcular integrais ao redor de singularidades.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as singularidades da função . Sabemos que é uma função inteira, ou seja, não tem singularidades no plano complexo. Portanto, a única singularidade da nossa função está em , onde o denominador se anula, criando um polo de ordem 4.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teorema dos Resíduos, que diz que a integral de uma função ao longo de uma curva fechada é igual a vezes a soma dos resíduos das singularidades dentro da curva. No nosso caso, temos apenas uma singularidade em .
Para calcular o resíduo em , que é um polo de ordem 4, usamos a fórmula:
Simplificando:

Passo 4

Com o resíduo calculado, aplicamos o Teorema dos Resíduos:

Resposta

A integral é igual a .

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