Determine a série de Fourier da função dada.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Queremos determinar a série de Fourier da função
definida por:
Isso significa que vamos representar essa função periódica como uma soma infinita de senos e cossenos. Para isso, vamos precisar calcular os coeficientes da série de Fourier:
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o coeficiente
, que representa a média da função no intervalo considerado. A fórmula para
é:
Vamos calcular essa integral:
Passo 3
Agora, vamos calcular os coeficientes de cosseno
, que são dados por:
Substituindo a função:
Calculando a integral:
Portanto,
para todo
.
Passo 4
Em seguida, calculamos os coeficientes de seno
:
Substituindo a função:
Calculando a integral:
Sabendo que
, temos:
Passo 5
Agora, juntando tudo, a série de Fourier da função
é dada por:
Substituindo os coeficientes encontrados:
Simplificando:
Resposta
A série de Fourier da função
é: