Determine a série de Fourier da função dada.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Queremos determinar a série de Fourier da função definida por:
Isso significa que vamos representar essa função periódica como uma soma infinita de senos e cossenos. Para isso, vamos precisar calcular os coeficientes da série de Fourier: , e .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o coeficiente , que representa a média da função no intervalo considerado. A fórmula para é:
Vamos calcular essa integral:

Passo 3

Agora, vamos calcular os coeficientes de cosseno , que são dados por:
Substituindo a função:
Calculando a integral:
Portanto, para todo .

Passo 4

Em seguida, calculamos os coeficientes de seno :
Substituindo a função:
Calculando a integral:
Sabendo que , temos:

Passo 5

Agora, juntando tudo, a série de Fourier da função é dada por:
Substituindo os coeficientes encontrados:
Simplificando:

Resposta

A série de Fourier da função é:

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