Obtenha uma parametrização diferenciável para a curva
em
dada pela interseção das seguintes superfícies:
(e)
e
do ponto
a
.
(e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! No exercício, a gente precisa encontrar uma parametrização diferenciável para a curva
em três dimensões (
). Essa curva é formada pela interseção de duas superfícies:
-
com (que representa um cone) -
(que representa uma parábola no plano )
Nossa missão é descrever essa curva de forma matemática, usando uma função vetorial que depende de um parâmetro, geralmente denotado por
. Para isso, vamos precisar entender como essas duas equações se relacionam e como podemos expressar
,
e
em termos de um único parâmetro.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a segunda equação:
. Isso nos dá uma relação direta entre
e
. Podemos usar
como nosso parâmetro. Vamos chamar
, onde
varia de 0 a 1 para cobrir o intervalo de
de 0 a 1.
Assim, temos:
Substituindo isso na equação
, obtemos:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
em termos de
. Sabemos que a curva
está na interseç��o das duas superfícies, então ela deve satisfazer ambas as equações simultaneamente.
Substituindo
e
na primeira equação
, temos:
Para encontrar
, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados. Como
, podemos simplificar para:
Passo 4
Agora que temos
,
e
em termos de
, podemos escrever a parametrização vetorial da curva
.
Juntando tudo, a parametrização
fica:
Resposta
A parametrização diferenciável para a curva
é:
Exercícios relacionados
Determine a série de Fourier da função dada.
Calculc a integral
onde
é uma curva simples fechada parametrizada no sentido anti-horário e delimitand região aberta (e simplesmente conexa) do plano complexo.
Calcule
, para cada uma das curvas:
© : o segmento de reta que liga
à
©
O potencial elétrico, em volts, em qualquer ponto do plano xy é dado por
e, a distância é medida em metros. Ache a taxa de variação do potencial elétrico no ponto
na direção
com a direção positiva do eixo OX.