Obtenha uma parametrização diferenciável para a curva C em R^3 dada pela interseção das seguintes superfícies:
(e) x² + y² = z², z ≥ 0 e x = y^2 do ponto (0, 0, 0) a (1, 1, raiz(2)).

Passo 1

Beleza, vamos lá! No exercício, a gente precisa encontrar uma parametrização diferenciável para a curva em três dimensões ( ). Essa curva é formada pela interseção de duas superfícies:
  1. com (que representa um cone)
  2. (que representa uma parábola no plano )
Nossa missão é descrever essa curva de forma matemática, usando uma função vetorial que depende de um parâmetro, geralmente denotado por . Para isso, vamos precisar entender como essas duas equações se relacionam e como podemos expressar , e em termos de um único parâmetro.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a segunda equação: . Isso nos dá uma relação direta entre e . Podemos usar como nosso parâmetro. Vamos chamar , onde varia de 0 a 1 para cobrir o intervalo de de 0 a 1.
Assim, temos:
Substituindo isso na equação , obtemos:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar em termos de . Sabemos que a curva está na interseç��o das duas superfícies, então ela deve satisfazer ambas as equações simultaneamente.
Substituindo e na primeira equação , temos:
Para encontrar , tiramos a raiz quadrada de ambos os lados. Como , podemos simplificar para:

Passo 4

Agora que temos , e em termos de , podemos escrever a parametrização vetorial da curva .
Juntando tudo, a parametrização fica:

Resposta

A parametrização diferenciável para a curva é:

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