Calcule: [1,5 pts] integral 3 raizx+4 x^3x+sec ^2 x d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de 3 raizx + 4x^3x + sec^2 x em relação a x. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de integrais, como simplificação de expressões e regras básicas de integração.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão dentro da integral. Dividimos cada termo do numerador por x:
3 raizxx + 4x^3x + sec^2 x = 3x^-1/2 + 4x^2 + sec^2 x

Passo 3

Agora, aplicamos a propriedade da linearidade da integral, que permite integrar cada termo separadamente:
integral (3x^-1/2 + 4x^2 + sec^2 x) dx = 3 integral x^-1/2 dx + 4 integral x^2 dx + integral sec^2 x , dx

Passo 4

Vamos calcular cada uma das integrais individualmente:
  1. Integral de x^-1/2:
    Usamos a regra da potência para integrais:
    integral x^n dx = x^n+1n+1 + C
    Aqui, n = -12:
    integral x^-1/2 dx = x^1/21/2 = 2x^1/2
  2. Integral de x^2:
    Novamente, aplicamos a regra da potência:
    integral x^2 dx = x^33 + C
  3. Integral de sec^2 x:
    Sabemos que a primitiva de sec^2 x é tan x:
    integral sec^2 x , dx = tan x + C

Resposta

Juntando todas as integrais calculadas, a solução final é:
6raizx + 43x^3 + tan x + C
Onde C é a constante de integração.

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