Seja
Encontre, caso existam, os pontos de máximo e de mínimo locais da
, os intervalos onde
é crescente e onde é decrescente;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos a função
. A tarefa é encontrar, se existirem, os pontos de máximo e mínimo locais dessa função, além de identificar os intervalos onde a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, vamos utilizar o cálculo diferencial, especificamente o uso da derivada para analisar o comportamento da função.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos ajuda a entender como a função está mudando em cada ponto, ou seja, se está aumentando ou diminuindo. Vamos usar a regra do quociente para derivar
.
A regra do quociente diz que se temos uma função
, sua derivada é:
Aqui,
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
e
:
Passo 4
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Então, a derivada simplificada é:
Passo 5
Para encontrar os pontos críticos (onde a derivada é zero ou não existe), analisamos
:
A derivada não existe quando o denominador é zero:
Então, temos um ponto crítico em
e possíveis pontos de descontinuidade em
. No entanto,
são pontos onde a função não está definida, então focaremos no ponto crítico
.
Passo 6
Agora, vamos determinar se
é um ponto de máximo ou mínimo. Para isso, analisamos o sinal da derivada antes e depois de
:
- Para
, digamos :
- Para
, digamos :
Passo 7
Como a derivada muda de positiva para negativa em
, isso indica que a função atinge um ponto de máximo local em
.
Passo 8
Agora, vamos identificar os intervalos onde a função é crescente ou decrescente:
- Crescente: Quando
, ou seja, para . - Decrescente: Quando
, ou seja, para .
Resposta
A função
possui um ponto de máximo local em
. Além disso, ela é crescente no intervalo
e decrescente no intervalo
.
Exercícios relacionados
Calcule:
Determine o fluxo de campo vetorial:
através da superfície:
.
Derive as funções abaixo:
pts]
Seja
Encontre, caso existam, as assíntotas horizontais e verticais ao gráfico de
;