Seja
Encontre, caso existam, os pontos de máximo e de mínimo locais da , os intervalos onde é crescente e onde é decrescente;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos a função . A tarefa é encontrar, se existirem, os pontos de máximo e mínimo locais dessa função, além de identificar os intervalos onde a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, vamos utilizar o cálculo diferencial, especificamente o uso da derivada para analisar o comportamento da função.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função . A derivada nos ajuda a entender como a função está mudando em cada ponto, ou seja, se está aumentando ou diminuindo. Vamos usar a regra do quociente para derivar .
A regra do quociente diz que se temos uma função , sua derivada é:
Aqui, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de e :

Passo 4

Aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Então, a derivada simplificada é:

Passo 5

Para encontrar os pontos críticos (onde a derivada é zero ou não existe), analisamos :
A derivada não existe quando o denominador é zero:
Então, temos um ponto crítico em e possíveis pontos de descontinuidade em . No entanto, são pontos onde a função não está definida, então focaremos no ponto crítico .

Passo 6

Agora, vamos determinar se é um ponto de máximo ou mínimo. Para isso, analisamos o sinal da derivada antes e depois de :
  • Para , digamos :
çã
  • Para , digamos :
çã

Passo 7

Como a derivada muda de positiva para negativa em , isso indica que a função atinge um ponto de máximo local em .

Passo 8

Agora, vamos identificar os intervalos onde a função é crescente ou decrescente:
  • Crescente: Quando , ou seja, para .
  • Decrescente: Quando , ou seja, para .

Resposta

A função possui um ponto de máximo local em . Além disso, ela é crescente no intervalo e decrescente no intervalo .

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Determine o fluxo de campo vetorial: através da superfície: .
Derive as funções abaixo: pts]
Seja
Encontre, caso existam, as assíntotas horizontais e verticais ao gráfico de ;