Determine o fluxo de campo vetorial:
através da superfície:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que calcular o fluxo do campo vetorial
através de uma superfície que forma um paralelepípedo definido por
a
,
a
e
a
. Vamos usar o Teorema da Divergência para facilitar a resolução. Esse teorema relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a integral tripla da divergência desse campo sobre o volume delimitado pela superfície.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular a divergência do campo vetorial
. A divergência é dada por:
Onde
,
e
.
Passo 3
Vamos calcular cada derivada parcial:
Então, a divergência fica:
Passo 4
Agora, aplicando o Teorema da Divergência, o fluxo
é igual à integral tripla da divergência sobre o volume
:
Os limites de integração são:
-
vai de 0 a 2 -
vai de 0 a 2 -
vai de 0 a 4
Passo 5
Vamos calcular a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a
:
Depois, em relação a
:
E finalmente, em relação a
:
Passo 6
Somando todas as integrais:
Resposta
O fluxo do campo vetorial
através da superfície dada é
.
Exercícios relacionados
Derive as funções abaixo:
pts
Calcule os limites:
Calcule:
Seja
Encontre, caso existam, os pontos de máximo e de mínimo locais da
, os intervalos onde
é crescente e onde é decrescente;