Determine o fluxo de campo vetorial: através da superfície: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular o fluxo do campo vetorial através de uma superfície que forma um paralelepípedo definido por a , a e a . Vamos usar o Teorema da Divergência para facilitar a resolução. Esse teorema relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a integral tripla da divergência desse campo sobre o volume delimitado pela superfície.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a divergência do campo vetorial . A divergência é dada por:
Onde , e .

Passo 3

Vamos calcular cada derivada parcial:
Então, a divergência fica:

Passo 4

Agora, aplicando o Teorema da Divergência, o fluxo é igual à integral tripla da divergência sobre o volume :
Os limites de integração são:
  • vai de 0 a 2
  • vai de 0 a 2
  • vai de 0 a 4

Passo 5

Vamos calcular a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a :
Depois, em relação a :
E finalmente, em relação a :

Passo 6

Somando todas as integrais:

Resposta

O fluxo do campo vetorial através da superfície dada é .

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Derive as funções abaixo: pts
Calcule os limites:
Calcule:
Seja
Encontre, caso existam, os pontos de máximo e de mínimo locais da , os intervalos onde é crescente e onde é decrescente;