Calcule . Sugestão: mostre que , e então utilize o resultado do item (b).

Passo 1

Vamos calcular . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre potências de matrizes. Precisaremos mostrar que e então aplicar o resultado do item (b) para encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso indica que, ao elevar a matriz a qualquer potência , o resultado será multiplicado por . Por exemplo:
  • Para :
  • Para :
  • E assim por diante.

Passo 3

Vamos provar que . Sabemos que:
Isso significa que cada vez que multiplicamos , alternamos o sinal:
E assim por diante. Observamos que, para qualquer inteiro positivo , a relação se mantém.

Passo 4

Agora que estabelecemos , vamos utilizar o resultado do item (b) para calcular . Supondo que no item (b) tenhamos uma relação que liga e , por exemplo:
onde é a matriz identidade.

Passo 5

Para calcular , usamos a propriedade binomial de matrizes, considerando que e comutam (ou seja, ). Então:
Como elevado a qualquer potência é e substituindo pela expressão encontrada:
Devido à alternância dos sinais e às propriedades combinatórias, podemos simplificar essa expressão para obter uma forma fechada.

Resposta

Após simplificações, concluímos que:

Exercícios relacionados

Mostre que . Sugestão: mostre que o resultado vale para , e depois mostre que se o resultado vale para , então vale para .
Sendo
encontre matrizes inversível e diagonal tais que .
Sejam e . Identifique os casos em que temos um produto interno definido em . Nos casos que falham, indique qual é a propriedade que não se verifica.
a)
Encontre uma base ortonormal para constituída por autovetores de