Calcule . Sugestão: mostre que , e então utilize o resultado do item (b).
Passo 1
Vamos calcular . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre potências de matrizes. Precisaremos mostrar que e então aplicar o resultado do item (b) para encontrar .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa . Isso indica que, ao elevar a matriz a qualquer potência , o resultado será multiplicado por . Por exemplo:
Para :
Para :
E assim por diante.
Passo 3
Vamos provar que . Sabemos que:
Isso significa que cada vez que multiplicamos , alternamos o sinal:
E assim por diante. Observamos que, para qualquer inteiro positivo , a relação se mantém.
Passo 4
Agora que estabelecemos , vamos utilizar o resultado do item (b) para calcular . Supondo que no item (b) tenhamos uma relação que liga e , por exemplo:
onde é a matriz identidade.
Passo 5
Para calcular , usamos a propriedade binomial de matrizes, considerando que e comutam (ou seja, ). Então:
Como elevado a qualquer potência é e substituindo pela expressão encontrada:
Devido à alternância dos sinais e às propriedades combinatórias, podemos simplificar essa expressão para obter uma forma fechada.