Calcule A^100. Sugestão: mostre que D^n=(-1)^n+1 D, e então utilize o resultado do item (b).

Passo 1

Vamos calcular . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre potências de matrizes. Precisaremos mostrar que e então aplicar o resultado do item (b) para encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso indica que, ao elevar a matriz a qualquer potência , o resultado será multiplicado por . Por exemplo:
  • Para :
  • Para :
  • E assim por diante.

Passo 3

Vamos provar que D^2 = D cdot D = -D . Sabemos que:
D^3 = D^2 cdot D = (-D) cdot D = -D^2 = -(-D) = D
Isso significa que cada vez que multiplicamos D^4 = D^3 cdot D = D cdot D = -D , alternamos o sinal:
E assim por diante. Observamos que, para qualquer inteiro positivo , a relação se mantém.

Passo 4

Agora que estabelecemos A = I + D , vamos utilizar o resultado do item (b) para calcular . Supondo que no item (b) tenhamos uma relação que liga e , por exemplo:
onde é a matriz identidade.

Passo 5

Para calcular A^100 = (I + D)^100 = I^100 + binom1001 I^99 D + binom1002 I^98 D^2 + dots + D^100 , usamos a propriedade binomial de matrizes, considerando que A^100 = I + 100 D + binom1002 (-D) + dots + (-1)^101 D e comutam (ou seja, ). Então:
Como elevado a qualquer potência é e substituindo pela expressão encontrada:
Devido à alternância dos sinais e às propriedades combinatórias, podemos simplificar essa expressão para obter uma forma fechada.

Resposta

Após simplificações, concluímos que:
A^100 = I + (-1)^101 D = I - D

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