Calcule
. Sugestão: mostre que
, e então utilize o resultado do item (b).
Passo 1
Vamos calcular
. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre potências de matrizes. Precisaremos mostrar que
e então aplicar o resultado do item (b) para encontrar
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso indica que, ao elevar a matriz
a qualquer potência
, o resultado será
multiplicado por
. Por exemplo:
- Para
: - Para
: - E assim por diante.
Passo 3
Vamos provar que
. Sabemos que:
Isso significa que cada vez que multiplicamos
, alternamos o sinal:
E assim por diante. Observamos que, para qualquer inteiro positivo
, a relação
se mantém.
Passo 4
Agora que estabelecemos
, vamos utilizar o resultado do item (b) para calcular
. Supondo que no item (b) tenhamos uma relação que liga
e
, por exemplo:
onde
é a matriz identidade.
Passo 5
Para calcular
, usamos a propriedade binomial de matrizes, considerando que
e
comutam (ou seja,
). Então:
Como
elevado a qualquer potência é
e substituindo
pela expressão encontrada:
Devido à alternância dos sinais e às propriedades combinatórias, podemos simplificar essa expressão para obter uma forma fechada.
Resposta
Após simplificações, concluímos que: