Encontre uma base ortonormal para
constituída por autovetores de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer é encontrar uma base ortonormal para o espaço
formada por autovetores da matriz
. Pra isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear como autovalores, autovetores e ortonormalização.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz
. Autovalores são números
que satisfazem a equação
, onde
é a matriz identidade.
Passo 3
Calculando o determinante:
Simplificando:
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática
:
Então, os autovalores são:
Passo 5
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para um autovalor
, resolvemos
.
Passo 6
Para
:
Isso nos dá as equações:
Então, um autovetor associado a
é:
Passo 7
Para
:
Isso nos dá as equações:
Então, um autovetor associado a
é:
Passo 8
Agora, vamos normalizar os autovetores para que eles formem uma base ortonormal. Para isso, dividimos cada vetor pelo seu comprimento.
Para
:
Então, o vetor ortonormal é:
Para
:
Então, o vetor ortonormal é:
Resposta
Uma base ortonormal para
constituída por autovetores de
é:
Exercícios relacionados
Sejam
e
. Identifique os casos em que temos um produto interno definido em
. Nos casos que falham, indique qual é a propriedade que não se verifica.
a)
a)
Calcule
. Sugestão: mostre que
, e então utilize o resultado do item (b).
Mostrar que se
, então
.
Seja V o espaço vetorial dos polinômios com coeficientes reais de grau menor ou igual a um. Mostre que a relação abaixo é um produto interno.