Encontre uma base ortonormal para R^2 constituída por autovetores de
A=(cc 7 & 3 raiz3 3 raiz3 & 13 )

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer é encontrar uma base ortonormal para o espaço R^2 formada por autovetores da matriz 7 & 3raiz3 3raiz3 & 13 . Pra isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear como autovalores, autovetores e ortonormalização.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz . Autovalores são números que satisfazem a equação , onde é a matriz identidade.

Passo 3

Calculando o determinante:
det( 7 - lambda & 3raiz3 3raiz3 & 13 - lambda ) = (7 - lambda)(13 - lambda) - (3raiz3)^2
Simplificando:
(7 - lambda)(13 - lambda) - 27 = lambda^2 - 20lambda + 64 = 0

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática lambda = 20 pm raiz400 - 2562 = 20 pm raiz1442 = 20 pm 122 :
lambda1 = 16 e lambda2 = 4
Então, os autovalores são:

Passo 5

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para um autovalor , resolvemos .

Passo 6

Para 7 - 16 & 3raiz3 3raiz3 & 13 - 16 v1 v2 = -9 & 3raiz3 3raiz3 & -3 v1 v2 = 0 :
-9v1 + 3raiz3v2 = 0 Rightarrow v2 = 3raiz3v1 = raiz3v1
Isso nos dá as equações:
v1 = 1 raiz3
Então, um autovetor associado a é:

Passo 7

Para 7 - 4 & 3raiz3 3raiz3 & 13 - 4 v1 v2 = 3 & 3raiz3 3raiz3 & 9 v1 v2 = 0 :
3v1 + 3raiz3v2 = 0 Rightarrow v2 = -1raiz3v1
Isso nos dá as equações:
v2 = 1 -1raiz3
Então, um autovetor associado a é:

Passo 8

Agora, vamos normalizar os autovetores para que eles formem uma base ortonormal. Para isso, dividimos cada vetor pelo seu comprimento.
Para |v1| = raiz1^2 + (raiz3)^2 = raiz1 + 3 = 2 :
u1 = 12 1 raiz3 = 12 raiz32
Então, o vetor ortonormal é:
|v2| = raiz1^2 + (-1raiz3)^2 = raiz1 + 13 = raiz43 = 2raiz3
Para u2 = raiz32 1 -1raiz3 = raiz32 -12 :
Então, o vetor ortonormal é:

Resposta

Uma base ortonormal para 12 raiz32 , raiz32 -12 constituída por autovetores de é:

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