Encontre uma base ortonormal para constituída por autovetores de

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer é encontrar uma base ortonormal para o espaço formada por autovetores da matriz . Pra isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear como autovalores, autovetores e ortonormalização.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz . Autovalores são números que satisfazem a equação , onde é a matriz identidade.

Passo 3

Calculando o determinante:
Simplificando:

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática :
Então, os autovalores são:

Passo 5

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para um autovalor , resolvemos .

Passo 6

Para :
Isso nos dá as equações:
Então, um autovetor associado a é:

Passo 7

Para :
Isso nos dá as equações:
Então, um autovetor associado a é:

Passo 8

Agora, vamos normalizar os autovetores para que eles formem uma base ortonormal. Para isso, dividimos cada vetor pelo seu comprimento.
Para :
Então, o vetor ortonormal é:
Para :
Então, o vetor ortonormal é:

Resposta

Uma base ortonormal para constituída por autovetores de é:

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a)
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