Sendo
encontre matrizes inversível e diagonal tais que .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz quadrada e precisa encontrar duas matrizes: uma matriz que seja inversível e outra matriz que seja diagonal. O objetivo é que, quando a gente fizer , a matriz seja uma matriz diagonal. Para isso, vamos usar o conteúdo de diagonalização de matrizes, que envolve encontrar autovalores e autovetores da matriz .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz . Os autovalores são valores que satisfazem a equação característica , onde é a matriz identidade.
A matriz é:
Vamos calcular o determinante de :
O determinante dessa matriz é:
Resolvendo essa equação:
Então, os autovalores são (com multiplicidade 2) e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para :
Resolvemos , ou seja:
Isso nos dá as equações:
Assim, os autovetores têm a forma . Podemos escolher dois vetores linearmente independentes, por exemplo:
Para :
Resolvemos :
Isso nos dá as equações:
Então, os autovetores têm a forma . Podemos escolher:

Passo 4

Agora que temos os autovalores e os autovetores, vamos montar a matriz com os autovetores como colunas e a matriz com os autovalores na diagonal.
Organizando os autovetores:
E os autovalores na diagonal de :

Resposta

As matrizes e são:

Exercícios relacionados

Calcule o determinante da matriz .
Dada a transformaçāo Linear . Determinar os autovalores e auto vetores associados a essa transformação.
Mostre que . Sugestão: mostre que o resultado vale para , e depois mostre que se o resultado vale para , então vale para .
Calcule . Sugestão: mostre que , e então utilize o resultado do item (b).