encontre matrizes inversível e diagonal tais que .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz quadrada e precisa encontrar duas matrizes: uma matriz que seja inversível e outra matriz que seja diagonal. O objetivo é que, quando a gente fizer , a matriz seja uma matriz diagonal. Para isso, vamos usar o conteúdo de diagonalização de matrizes, que envolve encontrar autovalores e autovetores da matriz .
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz . Os autovalores são valores que satisfazem a equação característica , onde é a matriz identidade.
A matriz é:
Vamos calcular o determinante de :
O determinante dessa matriz é:
Resolvendo essa equação:
Então, os autovalores são (com multiplicidade 2) e .
Passo 3
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para :
Resolvemos , ou seja:
Isso nos dá as equações:
Assim, os autovetores têm a forma . Podemos escolher dois vetores linearmente independentes, por exemplo:
Para :
Resolvemos :
Isso nos dá as equações:
Então, os autovetores têm a forma . Podemos escolher:
Passo 4
Agora que temos os autovalores e os autovetores, vamos montar a matriz com os autovetores como colunas e a matriz com os autovalores na diagonal.