Sendo
A=(ccc -1 & 0 & 1 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0 ),
encontre matrizes P inversível e D diagonal tais que P^-1 A P=D.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz quadrada e precisa encontrar duas matrizes: uma matriz que seja inversível e outra matriz que seja diagonal. O objetivo é que, quando a gente fizer , a matriz seja uma matriz diagonal. Para isso, vamos usar o conteúdo de diagonalização de matrizes, que envolve encontrar autovalores e autovetores da matriz .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz A = -1 & 0 & 1 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0 . Os autovalores são valores A - lambda I = -1 - lambda & 0 & 1 0 & -1 - lambda & 0 0 & 0 & -lambda que satisfazem a equação característica det(A - lambda I) = (-1 - lambda) cdot (-1 - lambda) cdot (-lambda) = 0 , onde (-1 - lambda)^2 (-lambda) = 0 implies lambda1 = -1 (esse repete duas vezes) lambda2 = 0 é a matriz identidade.
A matriz é:
Vamos calcular o determinante de :
O determinante dessa matriz é:
Resolvendo essa equação:
Então, os autovalores são (com multiplicidade 2) e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para (A + I) v = 0 implies 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 v1 v2 v3 = 0 0 0 :
Resolvemos v1 v2 0 , ou seja:
v1 = 1 0 0 , v2 = 0 1 0
Isso nos dá as equações:
  • -1 & 0 & 1 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0 v1 v2 v3 = 0 0 0
  • v1 0 v1
  • 1 0 1
Assim, os autovetores têm a forma v3 = 1 0 1 . Podemos escolher dois vetores linearmente independentes, por exemplo:
Para :
Resolvemos :
Isso nos dá as equações:
Então, os autovetores têm a forma . Podemos escolher:

Passo 4

Agora que temos os autovalores e os autovetores, vamos montar a matriz P = 1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 com os autovetores como colunas e a matriz D = -1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0 com os autovalores na diagonal.
Organizando os autovetores:
E os autovalores na diagonal de :

Resposta

As matrizes P = 1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 , D = -1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0 e são:

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