Mostre que A^n=P D^n P^-1. Sugestão: mostre que o resultado vale para n=1, e depois mostre que se o resultado vale para n, então vale para n+1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que . Isso está relacionado com a teoria de matrizes diagonalizáveis. Pra resolver isso, vamos usar a prova por indução matemática. Primeiro, vamos ver se a igualdade vale para . Depois, vamos supor que vale para um certo e mostrar que também vale para .

Passo 2

Base da indução ( A^1 = P D^1 P^-1 ):
Quando A = P D P^-1 , a expressão fica:
Sabemos que qualquer matriz elevada a 1 é ela mesma, então:
E isso já é nossa hipótese inicial, ou seja, sabemos que . Portanto, a igualdade vale para .

Passo 3

Passo indutivo: Suponha que A^n+1 = A^n cdot A seja verdadeira para algum inteiro .
Agora, precisamos mostrar que .
Começamos escrevendo como :

Passo 4

Usando a hipótese de indução:
Substituímos A^n+1 = (P D^n P^-1) cdot A pela expressão A^n+1 = (P D^n P^-1) cdot (P D P^-1) :
Sabemos que , então substituímos novamente:

Passo 5

Simplificando a expressão:
Observamos que A^n+1 = P D^n underbraceP^-1 PI D P^-1 = P D^n D P^-1 é a matriz identidade A^n+1 = P D^n+1 P^-1 :
Como :

Resposta

Portanto, mostramos que se A^n = P D^n P^-1 é verdadeira para um certo , então também é verdadeira para . Como a base da indução é válida ( ), por indução matemática, concluímos que:
para todo inteiro .

Exercícios relacionados