Mostre que . Sugestão: mostre que o resultado vale para , e depois mostre que se o resultado vale para , então vale para .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que . Isso está relacionado com a teoria de matrizes diagonalizáveis. Pra resolver isso, vamos usar a prova por indução matemática. Primeiro, vamos ver se a igualdade vale para . Depois, vamos supor que vale para um certo e mostrar que também vale para .

Passo 2

Base da indução ( ):
Quando , a expressão fica:
Sabemos que qualquer matriz elevada a 1 é ela mesma, então:
E isso já é nossa hipótese inicial, ou seja, sabemos que . Portanto, a igualdade vale para .

Passo 3

Passo indutivo: Suponha que seja verdadeira para algum inteiro .
Agora, precisamos mostrar que .
Começamos escrevendo como :

Passo 4

Usando a hipótese de indução:
Substituímos pela expressão :
Sabemos que , então substituímos novamente:

Passo 5

Simplificando a expressão:
Observamos que é a matriz identidade :
Como :

Resposta

Portanto, mostramos que se é verdadeira para um certo , então também é verdadeira para . Como a base da indução é válida ( ), por indução matemática, concluímos que:
para todo inteiro .

Exercícios relacionados

Sendo
encontre matrizes inversível e diagonal tais que .
Calcule o determinante da matriz .
Calcule . Sugestão: mostre que , e então utilize o resultado do item (b).
Sejam e . Identifique os casos em que temos um produto interno definido em . Nos casos que falham, indique qual é a propriedade que não se verifica.
a)