Mostre que . Sugestão: mostre que o resultado vale para , e depois mostre que se o resultado vale para , então vale para .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que . Isso está relacionado com a teoria de matrizes diagonalizáveis. Pra resolver isso, vamos usar a prova por indução matemática. Primeiro, vamos ver se a igualdade vale para . Depois, vamos supor que vale para um certo e mostrar que também vale para .
Passo 2
Base da indução ():
Quando , a expressão fica:
Sabemos que qualquer matriz elevada a 1 é ela mesma, então:
E isso já é nossa hipótese inicial, ou seja, sabemos que . Portanto, a igualdade vale para .
Passo 3
Passo indutivo: Suponha que seja verdadeira para algum inteiro .
Agora, precisamos mostrar que .
Começamos escrevendo como :
Passo 4
Usando a hipótese de indução:
Substituímos pela expressão :
Sabemos que , então substituímos novamente:
Passo 5
Simplificando a expressão:
Observamos que é a matriz identidade :
Como :
Resposta
Portanto, mostramos que se é verdadeira para um certo , então também é verdadeira para . Como a base da indução é válida (), por indução matemática, concluímos que: