Sejam
e
. Identifique os casos em que temos um produto interno definido em
. Nos casos que falham, indique qual é a propriedade que não se verifica.
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos dois vetores no espaço tridimensional,
e
. A tarefa é verificar se a operação definida por
é um produto interno válido em
. Caso não seja, precisamos identificar qual propriedade dessa definição de produto interno está faltando.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um produto interno. Em espaços vetoriais, um produto interno é uma função que associa a cada par de vetores
e
um número real, satisfazendo quatro propriedades fundamentais:
- Condições de positividade:
e se e somente se é o vetor nulo. - Simetria:
. - Linearidade no primeiro argumento:
para quaisquer vetores e escalares . - Distribuição:
.
Vamos analisar se a definição dada atende a essas propriedades.
Passo 3
Vamos verificar cada uma das propriedades com a definição
:
-
Positividade:
- Calculando
. - Isso é sempre maior ou igual a zero, mas note que não inclui
. Isso significa que se mas , então mesmo que não seja o vetor nulo. Isso viola a condição de positividade.
- Calculando
-
Simetria:
-
e . - Claramente,
, então essa propriedade está satisfeita.
-
-
Linearidade no primeiro argumento:
- Seja
um escalar e . -
. - Portanto, a linearidade está satisfeita.
- Seja
-
Distribuição:
-
. - Assim, a propriedade de distribuição também está satisfeita.
-
Resposta
A definição
não é um produto interno válido em
porque não satisfaz a propriedade de positividade, já que existem vetores não nulos para os quais
.
Exercícios relacionados
Calcule
. Sugestão: mostre que
, e então utilize o resultado do item (b).
Mostre que
. Sugestão: mostre que o resultado vale para
, e depois mostre que se o resultado vale para
, então vale para
.
Encontre uma base ortonormal para
constituída por autovetores de
Mostrar que se
, então
.