Sejam e . Identifique os casos em que temos um produto interno definido em . Nos casos que falham, indique qual é a propriedade que não se verifica.
a)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos dois vetores no espaço tridimensional, e . A tarefa é verificar se a operação definida por é um produto interno válido em . Caso não seja, precisamos identificar qual propriedade dessa definição de produto interno está faltando.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um produto interno. Em espaços vetoriais, um produto interno é uma função que associa a cada par de vetores e um número real, satisfazendo quatro propriedades fundamentais:
  1. Condições de positividade: e se e somente se é o vetor nulo.
  2. Simetria: .
  3. Linearidade no primeiro argumento: para quaisquer vetores e escalares .
  4. Distribuição: .
Vamos analisar se a definição dada atende a essas propriedades.

Passo 3

Vamos verificar cada uma das propriedades com a definição :
  1. Positividade:
    • Calculando .
    • Isso é sempre maior ou igual a zero, mas note que não inclui . Isso significa que se mas , então mesmo que não seja o vetor nulo. Isso viola a condição de positividade.
  2. Simetria:
    • e .
    • Claramente, , então essa propriedade está satisfeita.
  3. Linearidade no primeiro argumento:
    • Seja um escalar e .
    • .
    • Portanto, a linearidade está satisfeita.
  4. Distribuição:
    • .
    • Assim, a propriedade de distribuição também está satisfeita.

Resposta

A definição não é um produto interno válido em porque não satisfaz a propriedade de positividade, já que existem vetores não nulos para os quais .

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