Calcule
onde
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma integral de contorno no campo dos números complexos. O enunciado nos pede para calcular:
A curva
é a fronteira de um disco centrado na origem com raio 4, ou seja,
. Para resolver isso, vamos usar o Teorema dos Resíduos, que nos ajuda a calcular integrais assim identificando os pólos (pontos onde a função “explode”) dentro da curva de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde a função que estamos integrando tem seus pólos. A função é:
Os pólos são os valores de
que tornam o denominador zero, ou seja,
e
.
Passo 3
Agora, precisamos verificar quais desses pólos estão dentro da curva
. Como o raio da curva é 4 e ambos os pólos têm módulo menor que 4:
Portanto, ambos os pólos estão dentro do disco.
Passo 4
Segundo o Teorema dos Resíduos, a integral de contorno de uma fun��ão racional com pólos simples dentro da curva é igual a
vezes a soma dos resíduos nesses pólos. Ou seja:
Como temos um fator de
na frente da integral no enunciado, isso vai simplificar na hora de encontrar a resposta final.
Passo 5
Vamos calcular os resíduos em cada pólo.
Para um pólo simples, o resíduo de
em
é dado por:
Resíduo em
:
Simplificando:
Resíduo em
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, somamos os resíduos:
Passo 7
Aplicando o Teorema dos Resíduos na integral original:
Resposta
O valor da integral é 0.
Exercícios relacionados
Seja
uma função que satisfaz
e
. Se
, encontre
. Use que
.
Sejam
conjuntos. Mostre que
, então
.
Você está fazendo recipientes cilíndricos para conter um determinado volume fixo. Encontre a razão entre a altura e o raio da base do cilindro que minimiza o custo de fabricação dos recipientes. Use que se o cilindro tem raio
e altura
, então o volume é
e a área da superfície é
. Aqui, o volume é fixo e queremos encontrar o valor da razão
calculado no ponto de mínimo da função
constante.
Determine uma fórmula para a Soma de Riemann (método dos retângulos) da função
ao longo do intervalo
, obtida dividindo-se o intervalo em
subintervalos iguais ( 2,5 e 10 subintervalos) e os pontos tomados em cada subintervalo são os extremos à esquerda. Faça o gráfico.