Calcule
onde
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma integral de contorno no campo dos números complexos. O enunciado nos pede para calcular:
A curva
é a fronteira de um disco centrado na origem com raio 4, ou seja,
. Para resolver isso, vamos usar o Teorema dos Resíduos, que nos ajuda a calcular integrais assim identificando os pólos (pontos onde a função “explode”) dentro da curva de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde a função que estamos integrando tem seus pólos. A função é:
Os pólos são os valores de
que tornam o denominador zero, ou seja,
e
.
Passo 3
Agora, precisamos verificar quais desses pólos estão dentro da curva
. Como o raio da curva é 4 e ambos os pólos têm módulo menor que 4:
Portanto, ambos os pólos estão dentro do disco.
Passo 4
Segundo o Teorema dos Resíduos, a integral de contorno de uma fun��ão racional com pólos simples dentro da curva é igual a
vezes a soma dos resíduos nesses pólos. Ou seja:
Como temos um fator de
na frente da integral no enunciado, isso vai simplificar na hora de encontrar a resposta final.
Passo 5
Vamos calcular os resíduos em cada pólo.
Para um pólo simples, o resíduo de
em
é dado por:
Resíduo em
:
Simplificando:
Resíduo em
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, somamos os resíduos:
Passo 7
Aplicando o Teorema dos Resíduos na integral original:
Resposta
O valor da integral é 0.