Calcule
onde .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma integral de contorno no campo dos números complexos. O enunciado nos pede para calcular:
A curva é a fronteira de um disco centrado na origem com raio 4, ou seja, . Para resolver isso, vamos usar o Teorema dos Resíduos, que nos ajuda a calcular integrais assim identificando os pólos (pontos onde a função “explode”) dentro da curva de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde a função que estamos integrando tem seus pólos. A função é:
Os pólos são os valores de que tornam o denominador zero, ou seja, e .

Passo 3

Agora, precisamos verificar quais desses pólos estão dentro da curva . Como o raio da curva é 4 e ambos os pólos têm módulo menor que 4:
Portanto, ambos os pólos estão dentro do disco.

Passo 4

Segundo o Teorema dos Resíduos, a integral de contorno de uma fun��ão racional com pólos simples dentro da curva é igual a vezes a soma dos resíduos nesses pólos. Ou seja:
Como temos um fator de na frente da integral no enunciado, isso vai simplificar na hora de encontrar a resposta final.

Passo 5

Vamos calcular os resíduos em cada pólo.
Para um pólo simples, o resíduo de em é dado por:
Resíduo em :
Simplificando:
Resíduo em :
Simplificando:

Passo 6

Agora, somamos os resíduos:

Passo 7

Aplicando o Teorema dos Resíduos na integral original:

Resposta

O valor da integral é 0.

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