Calcule
12 pi i ointgamma 1(zeta-1)(zeta-2 i) d zeta
onde gamma=partial D(0,4).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma integral de contorno no campo dos números complexos. O enunciado nos pede para calcular:
12 pi i ointgamma 1(zeta-1)(zeta-2 i) d zeta
A curva gamma é a fronteira de um disco centrado na origem com raio 4, ou seja, gamma = partial D(0,4). Para resolver isso, vamos usar o Teorema dos Resíduos, que nos ajuda a calcular integrais assim identificando os pólos (pontos onde a função “explode”) dentro da curva de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde a função que estamos integrando tem seus pólos. A função é:
f(zeta) = 1(zeta-1)(zeta-2 i)
Os pólos são os valores de zeta que tornam o denominador zero, ou seja, zeta = 1 e zeta = 2i.

Passo 3

Agora, precisamos verificar quais desses pólos estão dentro da curva gamma = partial D(0,4). Como o raio da curva é 4 e ambos os pólos têm módulo menor que 4:
  • |1| = 1 < 4
  • |2i| = 2 < 4
Portanto, ambos os pólos estão dentro do disco.

Passo 4

Segundo o Teorema dos Resíduos, a integral de contorno de uma fun��ão racional com pólos simples dentro da curva é igual a 2pi i vezes a soma dos resíduos nesses pólos. Ou seja:
ointgamma f(zeta) dzeta = 2pi i ( Res(f, 1) + Res(f, 2i) )
Como temos um fator de 12pi i na frente da integral no enunciado, isso vai simplificar na hora de encontrar a resposta final.

Passo 5

Vamos calcular os resíduos em cada pólo.
Para um pólo simples, o resíduo de f em zeta = a é dado por:
Res(f, a) = limzeta to a (zeta - a) f(zeta)
Resíduo em zeta = 1:
Res(f, 1) = limzeta to 1 (zeta - 1) 1(zeta-1)(zeta-2i) = 11 - 2i
Simplificando:
11 - 2i = 1 + 2i(1)^2 + (2)^2 = 1 + 2i5 = 15 + 2i5
Resíduo em zeta = 2i:
Res(f, 2i) = limzeta to 2i (zeta - 2i) 1(zeta-1)(zeta-2i) = 12i - 1
Simplificando:
12i - 1 = -1 - 2i(1)^2 + (2)^2 = -1 - 2i5 = -15 - 2i5

Passo 6

Agora, somamos os resíduos:
Res(f, 1) + Res(f, 2i) = ( 15 + 2i5 ) + ( -15 - 2i5 ) = 0

Passo 7

Aplicando o Teorema dos Resíduos na integral original:
12 pi i ointgamma f(zeta) dzeta = 12 pi i cdot 2pi i cdot 0 = 0

Resposta

O valor da integral é 0.

Exercícios relacionados