Você está fazendo recipientes cilíndricos para conter um determinado volume fixo. Encontre a razão entre a altura e o raio da base do cilindro que minimiza o custo de fabricação dos recipientes. Use que se o cilindro tem raio e altura , então o volume é e a área da superfície é . Aqui, o volume é fixo e queremos encontrar o valor da razão calculado no ponto de mínimo da função constante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de otimização envolvendo cilindros. O objetivo é descobrir a relação entre a altura ( ) e o raio ( ) da base do cilindro que vai minimizar o custo de fabricação. Basicamente, queremos achar a melhor proporção entre e para que o custo, que está ligado à área da superfície do cilindro, seja o menor possível. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo, especificamente derivadas para encontrar o mínimo de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar as fórmulas que temos:
  • Volume do cilindro:
  • Área da superfície:
Como o volume é fixo, podemos expressar a altura em função do raio usando a fórmula do volume:

Passo 3

Agora, vamos substituir essa expressão de na fórmula da área para obter somente em termos de :
Simplificando:

Passo 4

Nosso objetivo é minimizar a área . Para isso, vamos usar derivadas. Primeiro, vamos encontrar a derivada de em rela��ão a :

Passo 5

Para encontrar o mínimo, igualamos a derivada a zero:
Vamos resolver essa equação para :
Multiplicando ambos os lados por :
Dividindo por 2:
Então:
E tirando a raiz cúbica:

Passo 6

Agora que temos , vamos encontrar usando a expressão que encontramos no Passo 2:

Passo 7

Finalmente, queremos a razão :

Resposta

A razão entre a altura e o raio que minimiza o custo de fabricação é .

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