Você está fazendo recipientes cilíndricos para conter um determinado volume fixo. Encontre a razão entre a altura e o raio da base do cilindro que minimiza o custo de fabricação dos recipientes. Use que se o cilindro tem raio
e altura
, então o volume é
e a área da superfície é
. Aqui, o volume é fixo e queremos encontrar o valor da razão
calculado no ponto de mínimo da função
constante.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de otimização envolvendo cilindros. O objetivo é descobrir a relação entre a altura (
) e o raio (
) da base do cilindro que vai minimizar o custo de fabricação. Basicamente, queremos achar a melhor proporção entre
e
para que o custo, que está ligado à área da superfície do cilindro, seja o menor possível. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo, especificamente derivadas para encontrar o mínimo de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar as fórmulas que temos:
- Volume do cilindro:
- Área da superfície:
Como o volume
é fixo, podemos expressar a altura
em função do raio
usando a fórmula do volume:
Passo 3
Agora, vamos substituir essa expressão de
na fórmula da área
para obter
somente em termos de
:
Simplificando:
Passo 4
Nosso objetivo é minimizar a área
. Para isso, vamos usar derivadas. Primeiro, vamos encontrar a derivada de
em rela��ão a
:
Passo 5
Para encontrar o mínimo, igualamos a derivada a zero:
Vamos resolver essa equação para
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Dividindo por 2:
Então:
E tirando a raiz cúbica:
Passo 6
Agora que temos
, vamos encontrar
usando a expressão que encontramos no Passo 2:
Passo 7
Finalmente, queremos a razão
:
Resposta
A razão entre a altura
e o raio
que minimiza o custo de fabricação é
.
Exercícios relacionados
Calcule
onde
.
Seja
uma função que satisfaz
e
. Se
, encontre
. Use que
.
Determine uma fórmula para a Soma de Riemann (método dos retângulos) da função
ao longo do intervalo
, obtida dividindo-se o intervalo em
subintervalos iguais ( 2,5 e 10 subintervalos) e os pontos tomados em cada subintervalo são os extremos à esquerda. Faça o gráfico.
Calcule as seguintes integrais definidas, indefinidas e imprópria: