Você está fazendo recipientes cilíndricos para conter um determinado volume fixo. Encontre a razão entre a altura e o raio da base do cilindro que minimiza o custo de fabricação dos recipientes. Use que se o cilindro tem raio r e altura h, então o volume é V = pi r^2 h e a área da superfície é A = 2 * pi * r * h + 2 * pi * r^2. Aqui, o volume é fixo e queremos encontrar o valor da razão h/r = V/(pi r^3) calculado no ponto de mínimo da função A(r) = 2 * pi * r * (V / (pi * r^2)) + 2 * pi * r^2 = 2 * V / r + 2 * pi * r^2, V constante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de otimização envolvendo cilindros. O objetivo é descobrir a relação entre a altura ( h) e o raio ( r) da base do cilindro que vai minimizar o custo de fabricação. Basicamente, queremos achar a melhor proporção entre h e r para que o custo, que está ligado à área da superfície do cilindro, seja o menor possível. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo, especificamente derivadas para encontrar o mínimo de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar as fórmulas que temos:
  • Volume do cilindro:
  • Área da superfície:
Como o volume V é fixo, podemos expressar a altura h em função do raio r usando a fórmula do volume:

Passo 3

Agora, vamos substituir essa expressão de h na fórmula da área A para obter A somente em termos de r:
Simplificando:

Passo 4

Nosso objetivo é minimizar a área . Para isso, vamos usar derivadas. Primeiro, vamos encontrar a derivada de A em rela��ão a r:

Passo 5

Para encontrar o mínimo, igualamos a derivada a zero:
Vamos resolver essa equação para r:
Multiplicando ambos os lados por r^2:
Dividindo por 2:
Então:
E tirando a raiz cúbica:

Passo 6

Agora que temos r, vamos encontrar h usando a expressão que encontramos no Passo 2:

Passo 7

Finalmente, queremos a razão :

Resposta

A razão entre a altura h e o raio r que minimiza o custo de fabricação é .

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