Seja
uma função que satisfaz
e
. Se
, encontre
. Use que
.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver essa questão juntos. A gente tem uma função
que satisfaz a equação
e sabemos que
. Queremos encontrar a derivada de outra função
no ponto
. Para isso, vamos precisar usar a regra da cadeia na derivação e entender um pouquinho sobre equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir a derivada de
no ponto
. A equação
nos diz exatamente isso. Substituindo
:
Sabemos que
, então:
Passo 3
Agora, vamos derivar a função
. Para isso, usamos a regra da cadeia, que nos diz que:
Isso porque a derivada de
é .
Passo 4
Queremos encontrar
. Primeiro, calculamos
e :
Substituindo na expressão da derivada:
Já sabemos que
, então:
Resposta
Exercícios relacionados
Sejam
conjuntos. Mostre que
, então
.
Uma xícara de café quente irá, com o tempo, esfriar até a temperatura ambiente. O princípio da física que rege o processo é a Lei do Resfriamento de Newton. Essa situação pode ser traduzida na seguinte equação diferencial
onde
é a temperatura do objeto no tempo
e
é a temperatura ambiente. Assumindo que a temperatura ambiente é de
. Depois de 1 min que o café ficou pronto, a temperatura do café é de
. O que você pode dizer sobre a taxa de variação da temperatura do café depois de 1 min ? Use a reta tangente no ponto
para fazer uma estimativa da temperatura do café depois de 2 min que ele ficou pronto.
Calcule
onde
.
Você está fazendo recipientes cilíndricos para conter um determinado volume fixo. Encontre a razão entre a altura e o raio da base do cilindro que minimiza o custo de fabricação dos recipientes. Use que se o cilindro tem raio
e altura
, então o volume é
e a área da superfície é
. Aqui, o volume é fixo e queremos encontrar o valor da razão
calculado no ponto de mínimo da função
constante.