Seja uma função que satisfaz e . Se , encontre . Use que .

Passo 1

Beleza! Vamos resolver essa questão juntos. A gente tem uma função que satisfaz a equação e sabemos que . Queremos encontrar a derivada de outra função no ponto . Para isso, vamos precisar usar a regra da cadeia na derivação e entender um pouquinho sobre equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir a derivada de no ponto . A equação nos diz exatamente isso. Substituindo :
Sabemos que , então:

Passo 3

Agora, vamos derivar a função . Para isso, usamos a regra da cadeia, que nos diz que:
Isso porque a derivada de é .

Passo 4

Queremos encontrar . Primeiro, calculamos e :
Substituindo na expressão da derivada:
Já sabemos que , então:

Resposta

Exercícios relacionados

Sejam conjuntos. Mostre que , então .
Uma xícara de café quente irá, com o tempo, esfriar até a temperatura ambiente. O princípio da física que rege o processo é a Lei do Resfriamento de Newton. Essa situação pode ser traduzida na seguinte equação diferencial
onde é a temperatura do objeto no tempo e é a temperatura ambiente. Assumindo que a temperatura ambiente é de . Depois de 1 min que o café ficou pronto, a temperatura do café é de . O que você pode dizer sobre a taxa de variação da temperatura do café depois de 1 min ? Use a reta tangente no ponto para fazer uma estimativa da temperatura do café depois de 2 min que ele ficou pronto.
Calcule
onde .
Você está fazendo recipientes cilíndricos para conter um determinado volume fixo. Encontre a razão entre a altura e o raio da base do cilindro que minimiza o custo de fabricação dos recipientes. Use que se o cilindro tem raio e altura , então o volume é e a área da superfície é . Aqui, o volume é fixo e queremos encontrar o valor da razão calculado no ponto de mínimo da função constante.