Seja f uma função que satisfaz f'(x) = -3 x f(x) e f(1/2) = 5. Se g(x) = f(cos(x)), encontre g'(\pi/3). Use que cos(pi/3) = 1/2, sen(pi/3) = raiz(3)/2.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver essa questão juntos. A gente tem uma função que satisfaz a equação e sabemos que . Queremos encontrar a derivada de outra função no ponto . Para isso, vamos precisar usar a regra da cadeia na derivação e entender um pouquinho sobre equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir a derivada de no ponto . A equação nos diz exatamente isso. Substituindo :
Sabemos que , então:

Passo 3

Agora, vamos derivar a função . Para isso, usamos a regra da cadeia, que nos diz que:
Isso porque a derivada de é .

Passo 4

Queremos encontrar . Primeiro, calculamos e :
Substituindo na expressão da derivada:
Já sabemos que , então:

Resposta

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