Determine uma fórmula para a Soma de Riemann (método dos retângulos) da função ao longo do intervalo , obtida dividindo-se o intervalo em subintervalos iguais ( 2,5 e 10 subintervalos) e os pontos tomados em cada subintervalo são os extremos à esquerda. Faça o gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos a fórmula da Soma de Riemann usando o método dos retângulos para a função no intervalo . Vamos dividir esse intervalo em 2, 5 e 10 subintervalos iguais e usar os extremos à esquerda de cada subintervalo para calcular a soma. Para isso, vamos precisar entender o que é a Soma de Riemann e como aplicá-la.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar o que é uma Soma de Riemann. Basicamente, é uma maneira de aproximar a área sob uma curva (de uma função) usando retângulos. O intervalo será dividido em subintervalos iguais, e para cada subintervalo, calculamos a área de um retângulo cuja altura é o valor da função no extremo esquerdo do subintervalo.

Passo 3

Vamos determinar o valor de , que é a largura de cada subintervalo. Ela é calculada pela fórmula:
onde , e é o número de subintervalos. Então, para cada caso:
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 4

Agora, vamos identificar os pontos a serem usados (extremos à esquerda). Para cada subintervalo, o ponto é dado por:
onde varia de a .
Vamos calcular esses pontos para cada valor de :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 5

Com os pontos definidos, vamos calcular a altura de cada retângulo, que é o valor da função no ponto . A função dada é . Então, para cada :
Vamos calcular isso para cada nos casos de , e .
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 6

Agora, multiplicamos cada altura pelo para obter a área de cada retângulo. A Soma de Riemann será a soma dessas áreas.
Vamos calcular para cada :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 7

Por fim, para visualizar melhor, podemos fazer um gráfico mostrando os retângulos sobre a curva da função no intervalo para cada valor de . Isso ajuda a entender como a aproximação fica mais precisa conforme aumentamos o número de subintervalos.

Resposta

A Soma de Riemann para no intervalo usando os métodos dos retângulos com extremos à esquerda resulta em:
  • Para :
  • Para :
  • Para :

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Você está fazendo recipientes cilíndricos para conter um determinado volume fixo. Encontre a razão entre a altura e o raio da base do cilindro que minimiza o custo de fabricação dos recipientes. Use que se o cilindro tem raio e altura , então o volume é e a área da superfície é . Aqui, o volume é fixo e queremos encontrar o valor da razão calculado no ponto de mínimo da função constante.
Calcule
onde .
Calcule as seguintes integrais definidas, indefinidas e imprópria:
Calcule , onde é a parte do plano limitada pelo paraboloide .