Determine uma fórmula para a Soma de Riemann (método dos retângulos) da função
ao longo do intervalo
, obtida dividindo-se o intervalo em
subintervalos iguais ( 2,5 e 10 subintervalos) e os pontos tomados em cada subintervalo são os extremos à esquerda. Faça o gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos a fórmula da Soma de Riemann usando o método dos retângulos para a função
no intervalo
. Vamos dividir esse intervalo em 2, 5 e 10 subintervalos iguais e usar os extremos à esquerda de cada subintervalo para calcular a soma. Para isso, vamos precisar entender o que é a Soma de Riemann e como aplicá-la.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar o que é uma Soma de Riemann. Basicamente, é uma maneira de aproximar a área sob uma curva (de uma função) usando retângulos. O intervalo
será dividido em
subintervalos iguais, e para cada subintervalo, calculamos a área de um retângulo cuja altura é o valor da função no extremo esquerdo do subintervalo.
Passo 3
Vamos determinar o valor de
, que é a largura de cada subintervalo. Ela é calculada pela fórmula:
onde
,
e
é o número de subintervalos. Então, para cada caso:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 4
Agora, vamos identificar os pontos a serem usados (extremos à esquerda). Para cada subintervalo, o ponto
é dado por:
onde
varia de
a
.
Vamos calcular esses pontos para cada valor de
:
-
Para
: -
-
Para
: -
-
Para
: -
Passo 5
Com os pontos definidos, vamos calcular a altura de cada retângulo, que é o valor da função
no ponto
. A função dada é
. Então, para cada
:
Vamos calcular isso para cada
nos casos de
,
e
.
-
Para
: -
-
Para
: -
-
Para
: -
Passo 6
Agora, multiplicamos cada altura pelo
para obter a área de cada retângulo. A Soma de Riemann será a soma dessas áreas.
Vamos calcular para cada
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 7
Por fim, para visualizar melhor, podemos fazer um gráfico mostrando os retângulos sobre a curva da função
no intervalo
para cada valor de
. Isso ajuda a entender como a aproximação fica mais precisa conforme aumentamos o número de subintervalos.
Resposta
A Soma de Riemann para
no intervalo
usando os métodos dos retângulos com extremos à esquerda resulta em:
- Para
: - Para
: - Para
:
Exercícios relacionados
Você está fazendo recipientes cilíndricos para conter um determinado volume fixo. Encontre a razão entre a altura e o raio da base do cilindro que minimiza o custo de fabricação dos recipientes. Use que se o cilindro tem raio
e altura
, então o volume é
e a área da superfície é
. Aqui, o volume é fixo e queremos encontrar o valor da razão
calculado no ponto de mínimo da função
constante.
Calcule
onde
.
Calcule as seguintes integrais definidas, indefinidas e imprópria:
Calcule
, onde
é a parte do plano
limitada pelo paraboloide
.