Calcule
13)

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral . Aqui estamos trabalhando com cálculo integral, mais especificamente integrando uma função trigonométrica ao quadrado. Para resolver isso, vamos precisar usar uma identidade trigonométrica que simplifica o quadrado do cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica útil:
Essa identidade nos ajuda a transformar o quadrado do cosseno em uma soma mais fácil de integrar.

Passo 3

Aplicando essa identidade à nossa integral, onde , temos:
Então, nossa integral fica:

Passo 4

Vamos simplificar a integral colocando o fator fora:
Agora, vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 5

Integrando o primeiro termo:
E integrando o segundo termo:

Passo 6

Juntando as integrações, temos:

Passo 7

Agora, vamos avaliar a expressão nos limites de integração. Primeiro, para :
Em seguida, para :
Substituindo esses valores na expressão:

Resposta

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O topo de uma escada desliza, por uma parede vertical a uma taxa de . No momento em que a base da escada está a da parede, ela afasta-se da parede à velocidade de 0,2 . Qual o comprimento da escada?