Calcule
13) integral0^pi / 4 cos ^2(2 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral . Aqui estamos trabalhando com cálculo integral, mais especificamente integrando uma função trigonométrica ao quadrado. Para resolver isso, vamos precisar usar uma identidade trigonométrica que simplifica o quadrado do cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica útil:
cos^2(theta) = 1 + cos(2theta)2
Essa identidade nos ajuda a transformar o quadrado do cosseno em uma soma mais fácil de integrar.

Passo 3

Aplicando essa identidade à nossa integral, onde cos^2(2x) = 1 + cos(4x)2 , temos:
integral0^pi / 4 cos^2(2x) , dx = integral0^pi / 4 1 + cos(4x)2 , dx
Então, nossa integral fica:

Passo 4

Vamos simplificar a integral colocando o fator 12 integral0^pi / 4 (1 + cos(4x)) , dx fora:
Agora, vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 5

Integrando o primeiro termo:
integral 1 , dx = x
E integrando o segundo termo:
integral cos(4x) , dx = 14 sin(4x)

Passo 6

Juntando as integrações, temos:
12 [ x + 14 sin(4x) ] g|0^pi / 4

Passo 7

Agora, vamos avaliar a expressão nos limites de integração. Primeiro, para x = pi4 :
sin(4 cdot pi4) = sin(pi) = 0
x = 0
Em seguida, para sin(0) = 0 :
12 [ pi4 + 0 - 0 - 0 ] = 12 cdot pi4 = pi8
Substituindo esses valores na expressão:

Resposta

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