Calcule
39) integral cos x sin 2 x d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral de cos x sin 2x , dx. Isso envolve funções trigonométricas, exatamente os cosseno e o seno. Para resolver essa integral, vamos usar uma identidade trigonométrica que nos ajuda a simplificar a multiplicação dessas funções.

Passo 2

Vamos usar a identidade trigonométrica que diz:
sin A cos B = sin(A+B) + sin(A-B)2
Aqui, podemos identificar A = 2x e B = x. Aplicando esses valores na identidade, temos:
sin 2x cos x = sin(2x + x) + sin(2x - x)2 = sin 3x + sin x2

Passo 3

Agora, substituímos essa expressão na integral original:
integral cos x sin 2x , dx = integral sin 3x + sin x2 , dx
Podemos fatorar o 12:
= 12 integral (sin 3x + sin x) , dx

Passo 4

Vamos integrar cada termo separadamente. A integral de sin kx é -cos kxk. Aplicando isso:
12 ( integral sin 3x , dx + integral sin x , dx ) = 12 ( -cos 3x3 - cos x )

Passo 5

Simplificando a expressão:
= -cos 3x6 - cos x2 + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral de cos x sin 2x , dx é:
-cos 3x6 - cos x2 + C

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