O topo de uma escada desliza, por uma parede vertical a uma taxa de
. No momento em que a base da escada está a
da parede, ela afasta-se da parede à velocidade de 0,2 . Qual o comprimento da escada?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma escada que está escorregando por uma parede vertical. A gente vai usar conhecimentos de matemática relacionados a taxas de variação, especificamente o cálculo de taxas relacionadas (relacionadas às derivadas). Precisamos descobrir o comprimento da escada usando as velocidades dadas de como ela está descendo e se afastando da parede.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar a situação: temos uma escada apoiada na parede formando um triângulo retângulo, onde a parede e o chão são os catetos, e a escada é a hipotenusa. Se chamarmos a altura da escada na parede de
e a distância da base da escada à parede de
, então o comprimento da escada
é a hipotenusa desse triângulo.
Passo 3
Sabemos que
é constante porque a escada não está se alongando nem encurtando. Então, podemos usar o Teorema de Pitágoras para relacionar
e
:
Passo 4
Como queremos relacionar as taxas de variação, vamos derivar essa equação em relação ao tempo
:
Simplificando:
Passo 5
Vamos identificar o que cada termo representa:
-
é a taxa de variação da base da escada afastando-se da parede. -
é a taxa de variação do topo da escada descendo pela parede. -
e são as distâncias no momento considerado.
Passo 6
Do enunciado, temos:
-
(negativo porque está descendo). -
(positivo porque está afastando).
Também sabemos que, no momento considerado, quando, a base está a uma certa distância da parede.
Passo 7
Vamos reorganizar a equação para encontrar uma relação entre
e
:
Substituindo os valores:
Passo 8
Agora, substituímos
na equação de Pitágoras:
Passo 9
Para encontrar
, precisamos saber o valor de
no momento considerado. Porém, como não foi dado diretamente, podemos usar as informações sobre as taxas para encontrar
.
Usando
e a equação de Pitágoras:
Sabemos que
, então substituindo:
Isso confirma a relação, mas para encontrar o valor específico de
, precisamos de mais informações ou considerar que a velocidade e as taxas já nos levam diretamente a
.
Resposta
O comprimento da escada é
. Sem o valor específico de
, essa é a relação que define o comprimento em termos da distância da base à parede.
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Uma função cúbica é um polinômio de grau 3 , isto é, tem a forma
, onde
.
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. Dê exemplos e faça esboços para ilustrar as três possibilidades.
(a) Mostre que uma função cúbica pode ter dois, um ou nenhum ponto crítico, isto é pontos
Suponha que a derivada da função
seja
Em qual intervalo
está crescendo? E descrescendo?