O topo de uma escada desliza, por uma parede vertical a uma taxa de . No momento em que a base da escada está a da parede, ela afasta-se da parede à velocidade de 0,2 . Qual o comprimento da escada?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma escada que está escorregando por uma parede vertical. A gente vai usar conhecimentos de matemática relacionados a taxas de variação, especificamente o cálculo de taxas relacionadas (relacionadas às derivadas). Precisamos descobrir o comprimento da escada usando as velocidades dadas de como ela está descendo e se afastando da parede.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar a situação: temos uma escada apoiada na parede formando um triângulo retângulo, onde a parede e o chão são os catetos, e a escada é a hipotenusa. Se chamarmos a altura da escada na parede de e a distância da base da escada à parede de , então o comprimento da escada é a hipotenusa desse triângulo.

Passo 3

Sabemos que é constante porque a escada não está se alongando nem encurtando. Então, podemos usar o Teorema de Pitágoras para relacionar e :

Passo 4

Como queremos relacionar as taxas de variação, vamos derivar essa equação em relação ao tempo :
Simplificando:

Passo 5

Vamos identificar o que cada termo representa:
  • é a taxa de variação da base da escada afastando-se da parede.
  • é a taxa de variação do topo da escada descendo pela parede.
  • e são as distâncias no momento considerado.

Passo 6

Do enunciado, temos:
  • (negativo porque está descendo).
  • (positivo porque está afastando).
    Também sabemos que, no momento considerado, quando , a base está a uma certa distância da parede.

Passo 7

Vamos reorganizar a equação para encontrar uma relação entre e :
Substituindo os valores:

Passo 8

Agora, substituímos na equação de Pitágoras:

Passo 9

Para encontrar , precisamos saber o valor de no momento considerado. Porém, como não foi dado diretamente, podemos usar as informações sobre as taxas para encontrar .
Usando e a equação de Pitágoras:
Sabemos que , então substituindo:
Isso confirma a relação, mas para encontrar o valor específico de , precisamos de mais informações ou considerar que a velocidade e as taxas já nos levam diretamente a .

Resposta

O comprimento da escada é . Sem o valor específico de , essa é a relação que define o comprimento em termos da distância da base à parede.

Exercícios relacionados

Calcule
66)
Calcule
13)
Uma função cúbica é um polinômio de grau 3 , isto é, tem a forma , onde .
(a) Mostre que uma função cúbica pode ter dois, um ou nenhum ponto crítico, isto é pontos tais que . Dê exemplos e faça esboços para ilustrar as três possibilidades.
Suponha que a derivada da função seja
Em qual intervalo está crescendo? E descrescendo?