Calcule
66)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa resolver é a integral de
. Esse problema está ligado ao cálculo de integrais envolvendo funções trigonométricas, especificamente potências de secante multiplicadas por tangente. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição, que é uma maneira de simplificar integrais complicadas transformando-as em algo mais fácil de calcular.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir por uma variável nova para facilitar a integração. Olha só: na expressão
, a função
é uma potência, e
pode ser vista como a derivada de
. Isso sugere que podemos usar a substituição
.
Passo 3
Vamos fazer essa substituição então. Definimos:
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para substituir
. A derivada de
é:
Isso significa que:
Para isolar
, dividimos ambos os lados por
:
Passo 4
Agora, vamos substituir
e
na integral original:
Simplificando, percebemos que
e
se cancelam parcialmente:
Passo 5
Agora, basta integrar
em relação a
:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
A integral de
é:
Exercícios relacionados
Calcule
13)
13)
Calcule
65)
65)
O topo de uma escada desliza, por uma parede vertical a uma taxa de
. No momento em que a base da escada está a
da parede, ela afasta-se da parede à velocidade de 0,2 . Qual o comprimento da escada?
Uma função cúbica é um polinômio de grau 3 , isto é, tem a forma
, onde
.
(a) Mostre que uma função cúbica pode ter dois, um ou nenhum ponto crítico, isto é pontos tais que
. Dê exemplos e faça esboços para ilustrar as três possibilidades.
(a) Mostre que uma função cúbica pode ter dois, um ou nenhum ponto crítico, isto é pontos