Calcule
66) integral sec ^5 3 x tan 3 x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa resolver é a integral de sec^5 3x tan 3x , dx. Esse problema está ligado ao cálculo de integrais envolvendo funções trigonométricas, especificamente potências de secante multiplicadas por tangente. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição, que é uma maneira de simplificar integrais complicadas transformando-as em algo mais fácil de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir por uma variável nova para facilitar a integração. Olha só: na expressão sec^5 3x tan 3x, a função sec^5 3x é uma potência, e tan 3x pode ser vista como a derivada de sec 3x. Isso sugere que podemos usar a substituição u = sec 3x.

Passo 3

Vamos fazer essa substituição então. Definimos:
u = sec 3x
Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x para substituir dx. A derivada de sec 3x é:
dudx = 3 sec 3x tan 3x
Isso significa que:
du = 3 sec 3x tan 3x , dx
Para isolar dx, dividimos ambos os lados por 3 sec 3x tan 3x:
dx = du3 sec 3x tan 3x

Passo 4

Agora, vamos substituir u e dx na integral original:
integral sec^5 3x tan 3x , dx = integral u^4 cdot tan 3x cdot du3 sec 3x tan 3x
Simplificando, percebemos que tan 3x e sec 3x se cancelam parcialmente:
= integral u^43 , du
= 13 integral u^4 , du

Passo 5

Agora, basta integrar u^4 em relação a u:
13 integral u^4 , du = 13 cdot u^55 + C
= u^515 + C
Lembrando que u = sec 3x, substituímos de volta:
= (sec 3x)^515 + C

Resposta

A integral de sec^5 3x tan 3x , dx é:
integral sec^5 3x tan 3x , dx = sec^5 3x15 + C

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