Calcule
66)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa resolver é a integral de . Esse problema está ligado ao cálculo de integrais envolvendo funções trigonométricas, especificamente potências de secante multiplicadas por tangente. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição, que é uma maneira de simplificar integrais complicadas transformando-as em algo mais fácil de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir por uma variável nova para facilitar a integração. Olha só: na expressão , a função é uma potência, e pode ser vista como a derivada de . Isso sugere que podemos usar a substituição .

Passo 3

Vamos fazer essa substituição então. Definimos:
Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a para substituir . A derivada de é:
Isso significa que:
Para isolar , dividimos ambos os lados por :

Passo 4

Agora, vamos substituir e na integral original:
Simplificando, percebemos que e se cancelam parcialmente:

Passo 5

Agora, basta integrar em relação a :
Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A integral de é:

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13)
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65)
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Uma função cúbica é um polinômio de grau 3 , isto é, tem a forma , onde .
(a) Mostre que uma função cúbica pode ter dois, um ou nenhum ponto crítico, isto é pontos tais que . Dê exemplos e faça esboços para ilustrar as três possibilidades.