Calcule
13) integral0^pi / 4 cos ^2(2 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com integrais envolvendo funções trigonométricas, especificamente o cosseno ao quadrado. Para resolver isso, vamos usar uma identidade trigonométrica que ajuda a simplificar o cosseno ao quadrado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da identidade trigonométrica para o cosseno ao quadrado:
cos^2(theta) = 1 + cos(2theta)2
Essa identidade é útil porque transforma um termo ao quadrado em uma expressão que é mais fácil de integrar.

Passo 3

Aplicando essa identidade à nossa integral, onde cos^2(2x) = 1 + cos(4x)2 , temos:
integral0^pi / 4 cos^2(2x) , dx = integral0^pi / 4 1 + cos(4x)2 , dx
Então, nossa integral fica:

Passo 4

Vamos separar a integral em duas partes:
integral0^pi / 4 12 , dx + integral0^pi / 4 cos(4x)2 , dx
Isso simplifica a resolução, pois agora temos duas integrais mais simples para calcular.

Passo 5

Calculando a primeira integral:
integral 12 , dx = 12x
Avaliada de 0 a 12 cdot pi4 - 12 cdot 0 = pi8 , fica:

Passo 6

Agora, calculando a segunda integral:
integral cos(4x)2 , dx = 12 cdot sin(4x)4 = sin(4x)8
Avaliada de 0 a sin(pi)8 - sin(0)8 = 08 - 08 = 0 , temos:

Resposta

Somando as duas partes, a integral é:
pi8 + 0 = pi8

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