Calcule
61)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem para resolver a integral . Isso está no campo do Cálculo, mais especificamente em integrais que envolvem funções trigonométricas e polinomiais. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar integrais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir por uma nova variável . Observando a integral , a gente percebe que o dentro do cosseno é um bom candidato para substituição. Então, definimos:

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de em relação a para encontrar :
O que nos dá:
Para facilitar a substituição, resolvemos para :

Passo 4

Voltando à nossa integral original, , podemos reescrever como . Como já definimos , isso fica:
Substituindo por :

Passo 5

Agora, temos a integral , que podemos resolver por integração por partes. A fórmula de integração por partes é:
Escolhemos:
Então, calculamos e :

Passo 6

Aplicando a fórmula de integração por partes:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Voltando à nossa expressão original:
E substituindo :

Resposta

A integral é igual a:

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Calcule
40)
Sejam e definidas pelas relações:

Quais das funções abaixo são contínuas:
b)
Calcule
68)
Calcule
13)