Calcule
61) integral x^3 cos x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem para resolver a integral . Isso está no campo do Cálculo, mais especificamente em integrais que envolvem funções trigonométricas e polinomiais. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar integrais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir por uma nova variável u = x^2 . Observando a integral , a gente percebe que o dentro do cosseno é um bom candidato para substituição. Então, definimos:

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de dudx = 2x em relação a du = 2x , dx para encontrar x , dx = du2 :
O que nos dá:
Para facilitar a substituição, resolvemos para :

Passo 4

Voltando à nossa integral original, integral x^2 cdot x cos(u) , dx , podemos reescrever integral u cdot cos(u) cdot du2 = 12 integral u cos(u) , du como . Como já definimos , isso fica:
Substituindo por :

Passo 5

Agora, temos a integral integral v , dw = v w - integral w , dv , que podemos resolver por integração por partes. A fórmula de integração por partes é:
v = u e dw = cos(u) , du
Escolhemos:
dv = du
Então, calculamos w = integral cos(u) , du = sin(u) e :

Passo 6

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral u cos(u) , du = u sin(u) - integral sin(u) , du
= u sin(u) + cos(u) + C
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Voltando à nossa expressão original:
12 integral u cos(u) , du = 12 ( u sin(u) + cos(u) ) + C
E substituindo 12 ( x^2 sin(x^2) + cos(x^2) ) + C :

Resposta

A integral x^2 sin(x^2) + cos(x^2)2 + C é igual a:

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