Calcule
68)
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Passo 1
Vamos resolver a integral
onde
. Esse exercício envolve o cálculo de integrais que combinam funções exponenciais com potências de
. Para resolver, vamos utilizar conceitos de cálculo de integrais impróprias e a relação com fatorial ou função gama.
Passo 2
Primeiro, observamos que a integral é do tipo
, onde
. Esse tipo de integral é conhecida e está relacionada à função gama, que generaliza o fatorial para números reais.
Passo 3
A fórmula geral para essa integral é
, onde
representa o fatorial de
. O fatorial de um número inteiro
é o produto de todos os inteiros positivos até
.
Passo 4
Aplicando a fórmula com
, temos:
Sabemos que
.
Passo 5
Substituindo o valor de
, a expressão fica:
Portanto, a integral avaliada é igual a
.
Resposta
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