Calcule
68)

Passo 1

Vamos resolver a integral onde . Esse exercício envolve o cálculo de integrais que combinam funções exponenciais com potências de . Para resolver, vamos utilizar conceitos de cálculo de integrais impróprias e a relação com fatorial ou função gama.

Passo 2

Primeiro, observamos que a integral é do tipo , onde . Esse tipo de integral é conhecida e está relacionada à função gama, que generaliza o fatorial para números reais.

Passo 3

A fórmula geral para essa integral é , onde representa o fatorial de . O fatorial de um número inteiro é o produto de todos os inteiros positivos até .

Passo 4

Aplicando a fórmula com , temos:
Sabemos que .

Passo 5

Substituindo o valor de , a expressão fica:
Portanto, a integral avaliada é igual a .

Resposta

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