Calcule
65) integral tan ^5 x sec ^2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de tan^5 x sec^2 x , dx. Aqui estamos trabalhando com cálculo, especificamente com técnicas de integração envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar substituição, que é uma técnica para simplificar integrais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a integral: integral tan^5 x sec^2 x , dx. Quando vemos potências ímpares de tan x multiplicadas por sec^2 x, uma boa estratégia é usar substituição. Vamos escolher uma parte da função para substituir por uma nova variável.

Passo 3

Vamos deixar u = tan x. A razão para isso é que a derivada de tan x é sec^2 x, que já está presente na nossa integral. Então, calculamos du:
du = sec^2 x , dx
Isso simplifica nossa integral, porque temos sec^2 x , dx exatamente na expressão original.

Passo 4

Substituindo u e du na integral original, temos:
integral tan^5 x sec^2 x , dx = integral u^5 , du
Agora, a integral ficou muito mais simples, apenas em termos de u.

Passo 5

Vamos agora integrar u^5 , du. A regra da potência para integração diz que:
integral u^n , du = u^n+1n+1 + C
onde C é a constante de integração. Aplicando isso:
integral u^5 , du = u^66 + C

Passo 6

Agora, vamos voltar para a variável original x. Lembrando que u = tan x, substituímos de volta:
u^66 + C = (tan x)^66 + C

Resposta

A integral de tan^5 x sec^2 x , dx é:
tan^6 x6 + C

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