Calcule
65)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de . Aqui estamos trabalhando com cálculo, especificamente com técnicas de integração envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar substituição, que é uma técnica para simplificar integrais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a integral: . Quando vemos potências ímpares de multiplicadas por , uma boa estratégia é usar substituição. Vamos escolher uma parte da função para substituir por uma nova variável.

Passo 3

Vamos deixar . A razão para isso é que a derivada de é , que já está presente na nossa integral. Então, calculamos :
Isso simplifica nossa integral, porque temos exatamente na expressão original.

Passo 4

Substituindo e na integral original, temos:
Agora, a integral ficou muito mais simples, apenas em termos de .

Passo 5

Vamos agora integrar . A regra da potência para integração diz que:
onde é a constante de integração. Aplicando isso:

Passo 6

Agora, vamos voltar para a variável original . Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A integral de é:

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13)
Calcule
68)
(Encceja 2018) Uma prestadora de serviços cobra pela visita à residência do cliente e pelo tempo necessário para realizar o serviço na residência.

O valor da visita é R e o valor da hora para realização do serviço é .

Uma expressão que indica o valor a ser pago ( ) em funçã̃o das horas (h) necessárias à
execução do serviço é:
a)
b)
c)
d)
Um túnel deve ser lacrado com uma tampa de concreto. A seção transversal do túnel e a tampa de concreto têm contornos de um arco de parábola e mesmas dimensões. Para determinar o custo da obra, um engenheiro deve calcular a área sob o arco parabólico em questão. Usando o eixo horizontal no nível do chão e o eixo de simetria da parábola como eixo vertical, obteve a seguinte equação para a parábola:
, sendo e medidos em metros.
Sabe-se que a área sob uma parábola como esta é igual a da área do retângulo
cujas dimensões são, respectivamente, iguais à base e à altura da entrada do túnel.
Qual é a área da parte frontal da tampa de concreto, em metro quadrado?
a. 18
b. 20
c. 36
d. 45
e. 54