Calcule
13) integral0^pi / 4 cos ^2(2 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral definida de de 0 até . Isso envolve um pouco de trigonometria e integração. Vamos usar uma identidade trigonométrica para simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que cos^2(theta) = 1 + cos(2theta)2 pode ser reescrito usando a identidade trigonométrica:
cos^2(2x) = 1 + cos(4x)2
Nesse caso, , então:
Essa simplificação vai facilitar a integração.

Passo 3

Agora, substituímos a expressão simplificada na integral:
integral0^pi/4 cos^2(2x) , dx = integral0^pi/4 1 + cos(4x)2 , dx
Podemos quebrar a integral em duas partes separadas:
= 12 integral0^pi/4 1 , dx + 12 integral0^pi/4 cos(4x) , dx

Passo 4

Vamos calcular cada integral separadamente. Primeiro:
12 integral0^pi/4 1 , dx = 12 [ x ]0^pi/4 = 12 ( pi4 - 0 ) = pi8
Agora, a segunda parte:
12 integral0^pi/4 cos(4x) , dx
Para integrar integral cos(kx) , dx = sin(kx)k + C , usamos a fórmula:
12 [ sin(4x)4 ]0^pi/4 = 18 ( sin(pi) - sin(0) ) = 18 (0 - 0) = 0
Então:

Resposta

Somando as duas partes, temos:
pi8 + 0 = pi8
Portanto, o valor da integral é .

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