Calcule
44) integral tan x raiz[3]sec x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrando uma função que envolve tangente e secante. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica de substituição, que é uma forma de simplificar a integral tornando-a mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que e . Mas para integrar essa função, uma estratégia melhor é usar substituição. Vamos definir .

Passo 3

Com essa substituição, precisamos encontrar a derivada de du = sec x tan x , dx em relação a para substituir na integral. A derivada de é , ou seja:

Passo 4

Agora, observe que na nossa integral original temos tan x , dx = dusec x , que pode ser reescrita como . Com a substituição que fizemos, , podemos reorganizar isso para expressar :

Passo 5

Substituindo na integral original, ficamos com:
integral tan x cdot sec^1/3 x , dx = integral sec^1/3 x cdot dusec x
Simplificando os termos de sec^1/3 x cdot sec^-1 x = sec^-2/3 x :
sec^-2/3 x = u^-2/3
Como , isso vira:

Passo 6

Agora, a integral está em termos de integral u^-2/3 , du :
integral u^n , du = u^n+1n+1 + C
Essa é uma integral de potência simples. A regra básica para integrar integral u^-2/3 , du = u^1/31/3 + C = 3u^1/3 + C é:
Aplicando isso aqui:

Passo 7

Finalmente, substituímos 3u^1/3 + C = 3 cdot sec^1/3 x + C de volta para :

Resposta

integral tan x raiz[3]sec x , dx = 3 cdot sec^1/3 x + C

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