Calcule
40)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas ao quadrado e vamos precisar usar identidades trigonométricas para simplificar a expressão antes de integrar. Vamos precisar conhecer as fórmulas de redução de potências para seno e cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que e podem ser reescritos usando as identidades de potência dupla:
Essas identidades nos ajudam a transformar funções ao quadrado em funções de primeira potência, facilitando a integração.

Passo 3

Vamos aplicar essas identidades à nossa integral:
Substituindo na integral original:

Passo 4

Agora, vamos multiplicar as frações:
Simplificando:

Passo 5

Vamos reescrever a integral com a expressão simplificada:
Isso separa a integral em termos mais simples.

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo:
Vamos resolver cada integral individualmente.

Passo 7

Integrando o primeiro termo:
Integrando o segundo termo:
Integrando o terceiro termo:

Passo 8

Para o quarto termo, , vamos usar a identidade do produto de cossenos:
Aplicando isso:
Então:
Simplificando:

Passo 9

Agora, juntamos todos os termos integrados:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a:

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