Calcule
40) integral sin ^2 2 x cos ^2 3 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas ao quadrado e vamos precisar usar identidades trigonométricas para simplificar a expressão antes de integrar. Vamos precisar conhecer as fórmulas de redução de potências para seno e cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que sin^2 theta = 1 - cos 2theta2 e cos^2 theta = 1 + cos 2theta2 podem ser reescritos usando as identidades de potência dupla:
Essas identidades nos ajudam a transformar funções ao quadrado em funções de primeira potência, facilitando a integração.

Passo 3

Vamos aplicar essas identidades à nossa integral:
sin^2 2x = 1 - cos 4x2
cos^2 3x = 1 + cos 6x2
Substituindo na integral original:
integral sin^2 2x cos^2 3x , dx = integral ( 1 - cos 4x2 ) ( 1 + cos 6x2 ) dx

Passo 4

Agora, vamos multiplicar as frações:
( 1 - cos 4x2 ) ( 1 + cos 6x2 ) = (1)(1) + (1)(cos 6x) - (cos 4x)(1) - (cos 4x)(cos 6x)4
Simplificando:
= 1 + cos 6x - cos 4x - cos 4x cos 6x4

Passo 5

Vamos reescrever a integral com a expressão simplificada:
integral sin^2 2x cos^2 3x , dx = 14 integral (1 + cos 6x - cos 4x - cos 4x cos 6x ) dx
Isso separa a integral em termos mais simples.

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo:
14 integral 1 , dx + 14 integral cos 6x , dx - 14 integral cos 4x , dx - 14 integral cos 4x cos 6x , dx
Vamos resolver cada integral individualmente.

Passo 7

Integrando o primeiro termo:
14 integral 1 , dx = 14 x
Integrando o segundo termo:
14 integral cos 6x , dx = 14 cdot sin 6x6 = sin 6x24
Integrando o terceiro termo:
- 14 integral cos 4x , dx = - 14 cdot sin 4x4 = - sin 4x16

Passo 8

Para o quarto termo, cos A cos B = cos (A + B) + cos (A - B)2 , vamos usar a identidade do produto de cossenos:
cos 4x cos 6x = cos (10x) + cos (-2x)2 = cos 10x + cos 2x2
Aplicando isso:
- 14 integral cos 4x cos 6x , dx = - 14 cdot 12 integral (cos 10x + cos 2x) , dx = - 18 ( sin 10x10 + sin 2x2 )
Então:
= - sin 10x80 - sin 2x16
Simplificando:

Passo 9

Agora, juntamos todos os termos integrados:
14 x + sin 6x24 - sin 4x16 - sin 10x80 - sin 2x16 + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral x4 + sin 6x24 - sin 4x16 - sin 10x80 - sin 2x16 + C é igual a:

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