Calcule
25) integral arctan raizx d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o integral . Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve a função arco-tangente e a raiz quadrada. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de integração por partes e algumas substituições.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula de integração por partes, que é . Vamos escolher:
Agora, precisamos encontrar e .

Passo 3

Para encontrar du = ddx arctan(raizx) , dx = 11 + (raizx)^2 cdot 12raizx , dx = 12raizx(1 + x) , dx , derivamos v = integral dx = x em relação a :
E para , integramos :

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral arctan(raizx) , dx = uv - integral v , du = x cdot arctan(raizx) - integral x cdot 12raizx(1 + x) , dx
Simplificando a integral:
x cdot 12raizx(1 + x) = raizx2(1 + x)
Então, temos:
integral arctan(raizx) , dx = x cdot arctan(raizx) - 12 integral raizx1 + x , dx

Passo 5

Agora, vamos resolver integral t1 + t^2 cdot 2t , dt = 2 integral t^21 + t^2 , dt . Vamos fazer uma substituição:
  • Deixe 2 integral (1 - 11 + t^2) , dt = 2 ( t - arctan(t) ) + C , então 2 ( raizx - arctan(raizx) ) + C e .
Substituindo na integral:
Simplificando :
Voltando para :

Passo 6

Agora, substituímos de volta na expressão original:
integral arctan(raizx) , dx = x cdot arctan(raizx) - 12 ( 2raizx - 2arctan(raizx) ) + C
Simplificando:
x cdot arctan(raizx) - raizx + arctan(raizx) + C = (x + 1) arctan(raizx) - raizx + C

Resposta

integral arctan(raizx) , dx = (x + 1) arctan(raizx) - raizx + C

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