Calcule
25)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o integral . Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve a função arco-tangente e a raiz quadrada. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de integração por partes e algumas substituições.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula de integração por partes, que é . Vamos escolher:
Agora, precisamos encontrar e .

Passo 3

Para encontrar , derivamos em relação a :
E para , integramos :

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
Simplificando a integral:
Então, temos:

Passo 5

Agora, vamos resolver . Vamos fazer uma substituição:
  • Deixe , então e .
Substituindo na integral:
Simplificando :
Voltando para :

Passo 6

Agora, substituímos de volta na expressão original:
Simplificando:

Resposta

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