Calcule: (1+j raiz32)^j

Passo 1

Beleza, vamos resolver o problema: calcular . Esse exercício envolve números complexos e exponenciação com expoentes imaginários. Para resolver, vamos precisar entender como trabalhar com números complexos na forma polar e usar a fórmula de Euler.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o número complexo na forma polar. Um número complexo na forma pode ser escrito como , onde é o módulo e é o argumento.

Passo 3

Para encontrar o módulo r = raiza^2 + b^2 , usamos a fórmula:
r = raiz(12)^2 + (raiz32)^2 = raiz14 + 34 = raiz1 = 1
Aqui, e . Então:

Passo 4

Agora, vamos encontrar o argumento theta = tan^-1(ba) = tan^-1(raiz3212) = tan^-1(raiz3) = pi3 . Usamos a tangente do ângulo:
1 + j raiz32 = 1 cdot e^jpi3 = e^jpi3
Então, podemos escrever:

Passo 5

Agora, queremos calcular (e^jpi3)^j = e^j cdot j pi3 = e^- pi3 . Para isso, usamos a propriedade de potências: . Então:
Lembre que .

Passo 6

Finalmente, simplificamos:
e^-pi3 approx e^-1.0472 approx 0,35

Resposta

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