Represente, no plano complexo, os números: (1-j 3)(2+j 4)
Converta-os para a forma polar ( r e^j theta,-pi ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente representar, no plano complexo, os números (1 - j3)(2 + j4) e depois converter esse resultado para a forma polar, que é r e^j theta, onde -pi < theta <= pi. Isso envolve entender como multiplicar números complexos e como converter da forma retangular para a forma polar.

Passo 2

Primeiro, vamos multiplicar os dois números complexos (1 - j3) e (2 + j4). Quando multiplicamos dois números complexos, usamos a distributiva:
(1 - j3)(2 + j4) = 1 cdot 2 + 1 cdot j4 - j3 cdot 2 - j3 cdot j4

Passo 3

Agora, vamos calcular cada termo:
  • 1 cdot 2 = 2
  • 1 cdot j4 = j4
  • -j3 cdot 2 = -j6
  • -j3 cdot j4 = -j^2 12
Lembrando que j^2 = -1, então:
-j^2 12 = -(-1)12 = 12

Passo 4

Juntando tudo:
2 + j4 - j6 + 12 = (2 + 12) + j(4 - 6) = 14 - j2
Então, o resultado da multiplicação é 14 - j2.

Passo 5

Agora, vamos converter 14 - j2 para a forma polar r e^j theta. Para isso, precisamos encontrar o módulo r e o argumento theta.

Passo 6

O módulo r é dado pela fórmula:
r = raiza^2 + b^2
onde a é a parte real e b é a parte imaginária.
Aqui, a = 14 e b = -2, então:
r = raiz14^2 + (-2)^2 = raiz196 + 4 = raiz200 = 10raiz2

Passo 7

Agora, o argumento theta é o ângulo cuja tangente é b/a:
theta = arctan(ba) = arctan(-214)
Calculando:
theta approx arctan(-0.1429) approx -0.142 radianos
Isso está dentro do intervalo -pi < theta <= pi.

Resposta

Portanto, a representação polar de (1 - j3)(2 + j4) é:
10raiz2 , e^j(-0.142)

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