Represente, no plano complexo, os números:
Converta-os para a forma cartesiana

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para representarmos o número complexo no plano complexo e convertê-lo para a forma cartesiana . Para isso, vamos usar conceitos de números complexos e a famosa fórmula de Euler.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula de Euler, que é super útil quando trabalhamos com números complexos na forma exponencial. A fórmula de Euler diz que:
Isso significa que podemos transformar uma expressão exponencial com um número imaginário no expoente em uma combinação de seno e cosseno.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o número que queremos converter: . Podemos separar esse expoente em duas partes, usando a propriedade dos expoentes que diz que . Aplicando isso, temos:

Passo 4

Já sabemos que pode ser escrito usando a fórmula de Euler. Substituindo, ficamos com:
Então, substituindo de volta na expressão, temos:

Passo 5

Agora, distribuímos o dentro dos parênteses:

Resposta

Portanto, a forma cartesiana do número é:

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Represente, no plano complexo, os números:
Converta-os para a forma polar ( ).
Calcule:
Considerando e o seu complexo conjugado , mostre que:
Calcule e considerando